Paradoxuri si pseudo-paradoxuri

[nano2k]

M-am gandit ca e util si interesant sa deschid un topic despre paradoxuri.
In principiu, ma gandesc la paradoxurile mai "populare", nu la cele de teapa paradoxului lui Fermi, Feynman, etc, care merita mai multa atentie, dezbatere, etc.

E vorba paradoxuri mai mult sau mai putin autentice, dar care, cel putin la la primul contact cu el, te bulverseaza.
Unele paradoxuri ascund mici greseli de logica (de genul: incepi sa nu mai vezi padurea de copaci) sau pornesc de la ipoteze gresite, desi la prima vedere par a fi in regula.

Iata, eu mi-am amintit azi de paradoxul cu iepurele si broasca testoasa. Paradoxul zice ca, aplicand logica, "demonstreaza" ca iepurele, desi alearga de 10 ori mai repede decat broasca, nu va reusi sa o depaseasca intr-o cursa pe linie dreapta.

Paradoxul zice asa:

Iepurele si broasca fac concurs. Iepurele alearga de 10 ori mai repede decat broasca.
Ambii pornesc in acelasi timp, insa iepurele este generos si ii ofera broastei un avans de 10 metri.
Start!
Acum urmeaza rationamentul:
Iepurele parcurge cei 10m care il desparte de broasca la momentul initial si ajunge deci unde se afla broasca la startul concursului. Totusi, in acest timp, broasca, care alearga de 10 ori mai incet, a parcurs si ea 1m. Perfect normal.
Iepurele mai parcurge 1m, adica distanta care il desparte de broasca. Totusi, broasca a mai parcurs si ea 10 cm, deci se afla tot in fata iepurelui.
Rationamentul continua la nesfarsit, aparent demonstrand ca iepurele nu va depasi niciodata broasca, prin faptul ca nu demonstreaza ca iepurele ar putea macar sa ajunga din urma broasca.

Paradoxul "uimeste" prin faptul ca desi experimental putem dovedi oricand ca iepurele va intrece broasca, teoretic "ne da cu virgula".

Sigur, cheia acestui pseudo-paradox este ca rationamentul este gresit deoarece este facut sistemul de coordonate ale broastei, care nu este acelasi cu sistemul de coordonate general, pe de o parte, iar pe de alta parte, miscarea este un proces continuu si independent. Miscarea iepurelui nu este conditionata de miscare broastei, asa cum, eronat, induce rationamentul.

Mi-am adus aminte de acest "paradox" (acum folosesc ghilimelele) pentru ca in ultima vreme se tot vorbeste de calatoriile in trecut dar si de viteze superluminice (uneori cele 2 puse intr-o relatie de cauzalitate), etc.
Noi gandim acum Universul si legile lui pornind de la ipoteza ca viteza lumii este o constanta universala. Ea este reperul.
Ma intrebam daca nu cumva gresim ca in paradoxul de mai sus.

De asemenea, un forumist istet, Osmiumbin a dezvoltat asa-numitul [url http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=670.0]Paradox al zidului[/url], pornind de la cateva ipoteze induse prin rationament. Ceea ce initial parea a fi o demonstratie generala, s-a rezumat la a fi o demonstratie a unui caz particular.

Sper ca topicul sa prinda viata si cu alte paradoxuri mai mult sau mai putin cunoscute.

[Electron]

Acesta este, din cate stiu, unul din cele "patru paradoxuri ale lui Zenon", fiind cel mai cunoscut dintre ele.

Sigur, cheia acestui pseudo-paradox este ca rationamentul este gresit deoarece este facut sistemul de coordonate ale broastei, care nu este acelasi cu sistemul de coordonate general, pe de o parte, iar pe de alta parte, miscarea este un proces continuu si independent. Miscarea iepurelui nu este conditionata de miscare broastei, asa cum, eronat, induce rationamentul.

As face niste remarci, pentru ca nu sunt de acord cu "cheia" ta.

1) Nu conteaza din ce sistem de referinta se face rationamentul, fie cel al broastei, al iepurelui, sau al liniei de start. Rationamentul ramane "la fel de valabil" in oricare dintre ele.

2) "Problema" nu tine de faptul ca "miscarea este continua si independenta" ci de faptul ca se defineste o suma infinita (o infinitate de termeni) care are valoare finita (si anume intervalul total de timp pana la intalnire, sau alternativ, distanta pana la "ajungerea din urma"). Intuitiv e (mai) greu de acceptat ca o asfel de suma poate avea valoare finita, ceea ce duce la aparentul paradox.

In plus, problema cu "infinitul" este ca e un concept teoretic, fara echivalenta in realitatea fizica, adica, in practica nu putem masura "intervale de timp" si "distante" oricat de mici (adica "infinit de mici") cum presupune rationamentul. Teoretic insa o putem face, si mai mult, o putem face "instataneu" pentru o "infinitate de pasi" (cand evaluam suma ca limita a unui sir convergent cu formulele matematice de rigoare).

In concluzie, raspunsul la "paradox" este ca da, exista o "infinitate" de pasi in rationament, dar suma "infinita" a marimilor considerate este finita in acest caz, si coincide perfect cu observatiile practice (fara ... "virgula" ).


e-

[Adi]

Excelenta idee de subiect, felicitari Nano2k!

[nano2k]

Acesta este, din cate stiu, unul din cele "patru paradoxuri ale lui Zenon", fiind cel mai cunoscut dintre ele.

Sigur, cheia acestui pseudo-paradox este ca rationamentul este gresit deoarece este facut sistemul de coordonate ale broastei, care nu este acelasi cu sistemul de coordonate general, pe de o parte, iar pe de alta parte, miscarea este un proces continuu si independent. Miscarea iepurelui nu este conditionata de miscare broastei, asa cum, eronat, induce rationamentul.

As face niste remarci, pentru ca nu sunt de acord cu "cheia" ta.

1) Nu conteaza din ce sistem de referinta se face rationamentul, fie cel al broastei, al iepurelui, sau al liniei de start. Rationamentul ramane "la fel de valabil" in oricare dintre ele.

2) "Problema" nu tine de faptul ca "miscarea este continua si independenta" ci de faptul ca se defineste o suma infinita (o infinitate de termeni) care are valoare finita (si anume intervalul total de timp pana la intalnire, sau alternativ, distanta pana la "ajungerea din urma"). Intuitiv e (mai) greu de acceptat ca o asfel de suma poate avea valoare finita, ceea ce duce la aparentul paradox.

In plus, problema cu "infinitul" este ca e un concept teoretic, fara echivalenta in realitatea fizica, adica, in practica nu putem masura "intervale de timp" si "distante" oricat de mici (adica "infinit de mici") cum presupune rationamentul. Teoretic insa o putem face, si mai mult, o putem face "instataneu" pentru o "infinitate de pasi" (cand evaluam suma ca limita a unui sir convergent cu formulele matematice de rigoare).

In concluzie, raspunsul la "paradox" este ca da, exista o "infinitate" de pasi in rationament, dar suma "infinita" a marimilor considerate este finita in acest caz, si coincide perfect cu observatiile practice (fara ... "virgula" ).


e-

Electron, mersi de completari/corecturi. Cunosti si celelalte 3 paradoxuri ale lui Zenon?

[nano2k]

Excelenta idee de subiect, felicitari Nano2k!

Mersi, mersi

[Electron]

Cunosti si celelalte 3 paradoxuri ale lui Zenon?

Uite aici o referinta : Zeno's Paradoxes.

e-

[Osmiumbin]

Foarte frumos nano2k!
"De asemenea, un forumist istet, Osmiumbin a dezvoltat asa-numitul [url http://www.scientia.ro/forum/index.php?topic=670.0]Paradox al zidului[/url], pornind de la cateva ipoteze induse prin rationament. Ceea ce initial parea a fi o demonstratie generala, s-a rezumat la a fi o demonstratie a unui caz particular." Ma bucur ca apreciezi acest lucru. Totusi la paraduxul enuntat de tine cu iepurele si broasca cred ca se pleaca de la o premiza gresita. Daca nu la evolutia lucrurilor. O sa mai analizez si alte paradoxuri...   

PS: Uite ca imi veni in minte o idee (nu stiu daca e paradox) de cand eram mic ma intrebam un lucru: Daca avem 10,000 lei si apoi de fiecare data adaugam jumatate din suma precedent adaugata la ei ajungem vreodata la 20,000 lei? Raspunsul este nu, desi adaugam la nesfarsit...
ex:10,000+5000+2500............ e un sir care are o limita insa nu cred ca e 20,000 

[Adi]

Pentru ca adaugi din ce in ce mai putin.

[Osmiumbin]

da stiu, tocmai si atunci care este limita?

[nano2k]

da stiu, tocmai si atunci care este limita?

Miros ca e o problema de limite de analiza de clasa a X-a cred. A trecut mult de atunci, poate avem vreun tanar mai istet si ne lumineaza. Acum e cam tarziu, poate maine o sa-mi bat si eu capul...

[Electron]

PS: Uite ca imi veni in minte o idee (nu stiu daca e paradox) de cand eram mic ma intrebam un lucru: Daca avem 10,000 lei si apoi de fiecare data adaugam jumatate din suma precedent adaugata la ei ajungem vreodata la 20,000 lei? Raspunsul este nu, desi adaugam la nesfarsit...
ex:10,000+5000+2500............ e un sir care are o limita insa nu cred ca e 20,000 

Depinde cum se pune problema: in timp, sau ca suma?

Daca avem diviziuni de "lei" infinit de mici la dispozitie si nu ne intereseaza aspectul temporal, atunci ajungem la exact 20.000 (dupa o infinitate de pasi).

Daca problema e de timp, si durata unei "adaugari" este nenula, atunci nu se ajunge niciodata la finalul sumei.

Se poate arata matematic faptul ca suma e convergenta si ca limita ei este 20.000. Cel mai simpu este folosind suma unei progresii geometrice.

e-

[Osmiumbin]

Uite ca m-am gandit putin la iepure si broasca si pot sa spun ce e gresit:
Daca analizam bine timpul necesar drumului gasim greseala:
sa zicem timpul x pentru cei 10m parcursi de iepure si 1m parcurs de broasca...
Daca vom considera viteza iepurelui si a broastei constante atunci pentru ca ierpurele sa mai parcurga acel metru ii mai trebuie x/10, in timp ce broasca parcurge 10cm in acelasi timp. Pentru ca iepurele sa parcurga acei 10cm ii trebuie x/100, timp in care broasca parcurge 1cm.... si uite asa ajungem, ca in exemplul dat de mine mai sus cu banii, la timpi din ce in ce mai mici si se formeaza astfel un sir convergent si care are limita. Odata depasita aceasta limita, iepurele intrece broasca, fara ezitare   

[menssana1984]

daca un copac cade intr-o padure,si nu e nimeni si nimic prin preajma, face zgomot in caderea sa?
mai e paradoxul bunicului din calatoriile temporare...
pisica lui schroedinger, liftul lui einsten....

[Adi]

Bine ai venit pe forum! Multumim pentru completare ... Acestea ce le-ai enumerat sunt pseudo-paradoxuri, adica sunt deja rezolvate.

[menssana1984]

zau?
)
si care e rezolvarea la cel cu copacul?