Unde e greseala? :)

[Alexandru Rautu]

Acest exemplu arata ca folosind doar Principiul II nu pot stabili unicitatea solutiei ecuatiei de miscare. Principiul I aduce ceva suplimentar. Prin urmare, acest exemplu dovedeste ca rationamentul din prima postare este gresit si deci Principiul I nu se poate deduce din Principiul II.

Intrebarea care ramane: unde anume este gresit acel rationament?

Răspunsul e simplu! Unicitatea soluţiei apare din condiţiile iniţiale; condiţii pe care tu nu le-ai mai aplicat în fiecare din soluţiile afişate de tine în mesajul de mai sus. Aşadar, trebuie doar să-nlocuieşti in soluţiile 1), 2) şi 3); şi gata-i! (Notă: nu sunt singurele soluţii!)

[Stark]

Acest exemplu arata ca folosind doar Principiul II nu pot stabili unicitatea solutiei ecuatiei de miscare. Principiul I aduce ceva suplimentar. Prin urmare, acest exemplu dovedeste ca rationamentul din prima postare este gresit si deci Principiul I nu se poate deduce din Principiul II.

Intrebarea care ramane: unde anume este gresit acel rationament?

Răspunsul e simplu! Unicitatea soluţiei apare din condiţiile iniţiale; condiţii pe care tu nu le-ai mai aplicat în fiecare din soluţiile afişate de tine în mesajul de sus. Aşadar, trebuie doar să-nlocuieşti in soluţiile 1), 2) şi 3); şi gata-i! Notă: nu sunt singurele soluţii!

Nu am facut nici o greseala de calcul. Conditiile initiale se verifica pentru toate functiile 1), 2) si 3). Fiecare din functiile 1), 2) si 3) verifica conditiile intiale! Poti sa verifici! Evident fiecare 1), 2) si 3) sunt solutii ale ecuatei diferentiale date. Dar numai una este si solutie fizica: si pe aceea am sortat-o cu principiul I al inertiei!


PS: Din calculele mele nu reies decat ca 1) 2) si 3) sunt solutii ale acelei equatii diferentiale. Poti sa-mi spui care anume ar mai fi solutii? Ca sa putem compara rezultatele!

[Electron]

Ca in rationamentul cu pricina este o greseala se poate vedea din urmatoarea problema.

Se considera miscarea unidimensionala a unui corp de masa=1 Kg, in lungul axei x, sub actiunea unei forte definita de ecuatia
[tex]f(x)=x^{1\over 3} [/tex]

Conditiile initiale ale problemei sunt:
pozitie initiala [tex] x (t=0)=0[/tex]
viteza initiala  [tex] v(t=0)=0[/tex]

Cred ca ai uitat sa formulezi cerinta problemei...

e-

[Stark]

Ca in rationamentul cu pricina este o greseala se poate vedea din urmatoarea problema.

Se considera miscarea unidimensionala a unui corp de masa=1 Kg, in lungul axei x, sub actiunea unei forte definita de ecuatia
[tex]f(x)=x^{1\over 3} [/tex]

Conditiile initiale ale problemei sunt:
pozitie initiala [tex] x (t=0)=0[/tex]
viteza initiala  [tex] v(t=0)=0[/tex]

Cred ca ai uitat sa formulezi cerinta problemei...

e-

Sa se caluleze legea de miscare x(t)?  Era evident din moment ce Alexandru Rautu a inteles asta, dar NU in aceasta consta problema formulata de mine acolo: problema consta in unicitatea solutiei, date fiind conditiile intiale precizate! In aceasta consta problema, si asa am formulat-o!

Ecuatia de miscare pe care io am analizat-o acolo nu are solutie unica, asa cum am aratat, dar solutia fizica este gasita aplicand Principiul I. Prin acest Rationament am arata explicit (si precizat in postarea cu Pricina) ca Principiul I NU poate fi dedus din Principiul II, si in consecinta rationamentul din prima postare este gresit: enuntul problemei era concretizat in ultima intrebare din postare:
Intrebarea care ramane: unde anume este gresit acel rationament?

Intelegi acum ca, prin interventia ta, nu ai facut nimic alceva decat sa ma faci sa scriu de doua ori acelasi lucru! Nu era clara postarea mea?
Pentru Alexandru Rautu a fost! Pot sa ma conversez cu unul ca el fara sa am interferente cu un robot?

[Electron]

Sa se caluleze legea de miscare x(t)? 

De ce ma intrebi pe mine? Tu esti cel care a propus problema.

Daca cumva prin intrebarea asta voiai sa formulezi de fapt cerinta problemei, atunci te anunt ca toate calculele facute de tine sunt doar niste jonglerii matematice irelevante fizic.

Fizic vorbind, daca forta are forma f(x) = x^1/3, rezulta imediat ca f(0) = 0, ceea ce inseamna (folosind principiul II) ca si acceleratia e tot ZERO la momentul initial. Date fiind conditiile initiale, plus aceasta informatie, rezulta ca nu avem de-a face cu nici o miscare (viteza initiala fiind nula si neavand acceleratie, inseamna ca viteza ramane constanta, deci ramane mereu zero, adica v(t) = 0, iar de aici rezulta ca si coordonata x ramane constanta mereu, sau ca sa raspundem problemei, x(t) = 0 ).

Faptul ca tu aplici principiul II pentru a face jonglerii matematice irelevante, eu nu il pot considera un argument valabil in problematica independentei celor doua principii despre care vorbesti aici. Asa, jonglerii matematice se pot face multe, dar in fizica e nevoie de mai mult decat atat.

Intelegi acum ca, prin interventia ta, nu ai facut nimic alceva decat sa ma faci sa scriu de doua ori acelasi lucru!

Poti sa verifici ca nu ai postat de doua ori acelasi lucru. In prima varianta a problemei ai omis sa specifici cerinta, oricat de "evidenta" ti se pare tie sau altcuiva.

Nu era clara postarea mea?

Nu. Eu nu am inteles de ce te-ai lansat in acele jonglerii matematice irelevante intr-o problema atat de banala. De aceea am presupus ca de fapt voiai sa faci cu totul altceva, ce mi-a scapat cu desavarsire.

Pot sa ma conversez cu unul ca el fara sa am interferente cu un robot?

Unde ai vazut tu interferente cu un robot pe aici?


e-

[Stark]

Fizic vorbind, daca forta are forma f(x) = x^1/3, rezulta imediat ca f(0) = 0, ceea ce inseamna (folosind principiul II) ca si acceleratia e tot ZERO la momentul initial. Date fiind conditiile initiale, plus aceasta informatie, rezulta ca nu avem de-a face cu nici o miscare (viteza initiala fiind nula si neavand acceleratie, inseamna ca viteza ramane constanta, deci ramane mereu zero, adica v(t) = 0, iar de aici rezulta ca si coordonata x ramane constanta mereu, sau ca sa raspundem problemei, x(t) = 0 ).

Da nene, la momentul initial stiu ca Forta este zero, asta implica din principiul II ca a=0. Bun, deci stiu ca la mometul initial viteza este zero(derivata ordin 1), acceleratia este zero(derivata ordin 2). Este asta in opinia ta informatie suficienta ca sa deduc intreaga lege de miscare? Raspunsul este NU! Ar fi fost DA   daca as folosi principiul inertiei, dar fondul problemei consta aici (prima postare) ca io chestionez daca principiul inertiei este deductibil din principiul II sau nu... si deci NU vreau sa folosesc pincipiul inertiei in acest moment. Trebuie sa inteleg exact ce prezice principiul II si apoi sa vad daca Principiul I aduce ceva suplimentar! Logica la mintea cocosului! Asta era cheia rationametului!

Faptul ca tu aplici principiul II pentru a face jonglerii matematice irelevante, eu nu il pot considera un argument valabil in problematica independentei celor doua principii despre care vorbesti aici

Fa bine si scuteste-ma de astfel de arogante! Nu sunt aici sa dezbat daca formularea unei equatii de miscare din Principiul doi este sau nu jonglerie matematica! Daca nu il consideri argument valid, e problema ta, io nu insist! Vreau sa aud de alte pareri! Trebuie sa-ti cer tzie voie?

Eu nu am inteles de ce te-ai lansat in acele jonglerii matematice irelevante intr-o problema atat de banala

Aia e nu e o problema banala! E o problema de dinamica neliniara si din acest motiv solutiile matematice sunt multiple chiar pentru conditii initiale precizate. Asta este tot ce prezice principiul II, fara a folosi principiul I! Numai principiul I selecteaza solutia unica, ceea ce dovedeste ca prin continut Principiul I aduce informatii suplimentare fata de principiul II! Deci Principiul I nu poate fi dedus din Principiul II. Asta arata exemplul de dinamica considerat de mine. Lamurit?


PS: Fara Principiul I , doar stiind ca v=0(prima derivata), a=0(derivata de ordinul doi) la t=0, nu poti deduce legea de miscare fara formularea ecuatiei de miscare folosind legea a doua. Nu ai de unde sa stii ca derivata de ordinul trei este zero de pilda. Asta este jobul ecuatiei de miscare sa o stabileasca asa cum rezulta ea din Principul II! Si cu asta basta!

[Stark]

Faptul ca tu aplici principiul II pentru a face jonglerii matematice irelevante, eu nu il pot considera un argument valabil in problematica independentei celor doua principii despre care vorbesti aici. Asa, jonglerii matematice se pot face multe, dar in fizica e nevoie de mai mult decat atat.

Nu am aplicat decat Principiul II, atat. Dar tu prin astfel de replici imi arati ca nu stii ce este aceea ecuatie de miscare, la ce anume foloseste, nici nu ti-ai batut capul sa te intrebi de ce se oboseste lumea sa formuleze ecuatiile miscarii, nu stii cum se foloseste Principiul II pentru asta si deci ai drum lung de batut ca sa intelegi ce este pana la urma cu Princiul II in mecanica! Astea fiind zise, discutia nu are sens, si nu inteleg...vorbesti de fiecare data despre alceva... deci in consecintza...

[Stark]

Nu. Eu nu am inteles de ce te-ai lansat in acele jonglerii matematice irelevante intr-o problema atat de banala. De aceea am presupus ca de fapt voiai sa faci cu totul altceva, ce mi-a scapat cu desavarsire.

"Jongleriile alea matematice" din postarea 44 nu sunt decat solutiile equatiei de miscare, conform Principiului II.
Tot ce ai fi putut obiecta ar fi fost sa-mi arati ca acele solutii nu ar verifica equatia de miscare sau conditiile initiale. Atat! Asta era tot ce ai fi putut obiecta. Orice al comentariu in afara de asta nu ar fi avut alt scop decat sa te bagi in seama sau sa sufoci discutia cu divagatii de la subiect!

Inainte sa te arunci cu afirmatii hazardate, trebuia sa fi avut macar curiozitatea si sa verifici ce anume prevede ecuatia de miscare.
Si ai fi inteles in plus ca intodeauna se procedeaza asa: Principiul II-> equatie de miscare-> legi de miscare! Daca pentru tine asta inseamna hocus-pocus, imi pare rau, dar e lipsit de sens sa insisti: roaga mai bine pe alcineva sa te ajute! Eu nu-s catusi de putin obligat sa-ti explic, desi am facut-o in nenumarate randuri!

[Electron]

Fizic vorbind, daca forta are forma f(x) = x^1/3, rezulta imediat ca f(0) = 0, ceea ce inseamna (folosind principiul II) ca si acceleratia e tot ZERO la momentul initial. Date fiind conditiile initiale, plus aceasta informatie, rezulta ca nu avem de-a face cu nici o miscare (viteza initiala fiind nula si neavand acceleratie, inseamna ca viteza ramane constanta, deci ramane mereu zero, adica v(t) = 0, iar de aici rezulta ca si coordonata x ramane constanta mereu, sau ca sa raspundem problemei, x(t) = 0 ).

Da nene, la momentul initial stiu ca Forta este zero, asta implica din principiul II ca a=0. Bun, deci stiu ca la mometul initial viteza este zero(derivata ordin 1), acceleratia este zero(derivata ordin 2). Este asta in opinia ta informatie suficienta ca sa deduc intreaga lege de miscare? Raspunsul este NU! Ar fi fost DA   daca as folosi principiul inertiei, dar fondul problemei consta aici (prima postare) ca io chestionez daca principiul inertiei este deductibil din principiul II sau nu... si deci NU vreau sa folosesc pincipiul inertiei in acest moment. Trebuie sa inteleg exact ce prezice principiul II si apoi sa vad daca Principiul I aduce ceva suplimentar! Logica la mintea cocosului! Asta era cheia rationametului!

Da Stark, ai dreptate. Rationamentul tau este corect.

Greseala mea a fost ca am aplicat Principiul I fara sa-mi dau seama, deoarece mi se pare atat de evident (de fizic) incat fara el restul mi se par doar jonglerii matematice.

Vreau sa aud de alte pareri! Trebuie sa-ti cer tzie voie?

Nu trebuie sa-mi ceri voie. De unde ti-a venit asta?

Aia e nu e o problema banala! E o problema de dinamica neliniara si din acest motiv solutiile matematice sunt multiple chiar pentru conditii initiale precizate. Asta este tot ce prezice principiul II, fara a folosi principiul I! Numai principiul I selecteaza solutia unica, ceea ce dovedeste ca prin continut Principiul I aduce informatii suplimentare fata de principiul II! Deci Principiul I nu poate fi dedus din Principiul II. Asta arata exemplul de dinamica considerat de mine. Lamurit?


PS: Fara Principiul I , doar stiind ca v=0(prima derivata), a=0(derivata de ordinul doi) la t=0, nu poti deduce legea de miscare fara formularea ecuatiei de miscare folosind legea a doua. Nu ai de unde sa stii ca derivata de ordinul trei este zero de pilda. Asta este jobul ecuatiei de miscare sa o stabileasca asa cum rezulta ea din Principul II! Si cu asta basta!

Lamurit. Multumesc pentru explicatie.


e-

[Stark]

Greseala mea a fost ca am aplicat Principiul I fara sa-mi dau seama, deoarece mi se pare atat de evident (de fizic) incat fara el restul mi se par doar jonglerii matematice.

Ca o observatie, intr-un context diferit: e adevarat ca solutia x(t)=0 reiese imediat aplicand doar Principiul I!
Crezi ca ai fi rezolvat problema, fara sa mai aplici principiul II! Eu cred ca nu, pentru ca solutia x(t)=0 nu este de fapt solutie stabila, si nu ai fi avut cum sa stii asta doar din Principiul I!

[Electron]

Crezi ca ai fi rezolvat problema, fara sa mai aplici principiul II! Eu cred ca nu, pentru ca solutia x(t)=0 nu este de fapt solutie stabila, si nu ai fi avut cum sa stii asta doar din Principiul I!

Nu cred asta. Am precizat foarte clar in rezolvarea mea ca am aplicat principiul II. Pe acesta l-am aplicat in mod constient. Aplicarea primului principiu am facut-o in plus, fara sa-mi dau seama.

e-

[Stark]

Crezi ca ai fi rezolvat problema, fara sa mai aplici principiul II! Eu cred ca nu, pentru ca solutia x(t)=0 nu este de fapt solutie stabila, si nu ai fi avut cum sa stii asta doar din Principiul I!

Nu cred asta. Am precizat foarte clar in rezolvarea mea ca am aplicat principiul II. Pe acesta l-am aplicat in mod constient. Aplicarea primului principiu am facut-o in plus, fara sa-mi dau seama.

e-

Ai dreptate! Acum e vina mea, pentru ca la postarea 54 am facut o remarca care nu are legatura cu subiectul discutiei! (Adica o intrebare "inversa": la problema din postarea 44, am toate informatiile legate de solutia x(t)=0 aplicand doar principiul I?) Mai bine o lasam moarta! 

[mircea_p]

Gasesc exemplul dat forte interesant si util pentru o mai buna intelegere a ecuatiilor diferentiale.
In cazurile uzuale de ecuatii diferentiale lineare e dificil de gasit un exemplu care sa se comporte asa (adica eu nu am gasit).

In privinta fizici insa, nu cred ca decide independenta principiului I.
In general o solutie analitica a ecuatiei de miscare nici nu este posibila, pentru o forta generala.
Se porneste de la conditiile initiale (x0, v0 la to) si se foloseste principiul al doilea pentru  a calcula accelertia. Apoi din definita acceleratiei se calculeaza modificarea vitezei intr-un interval mic de timp (t-t0) si dupa aceea se calculeaza noua pozitie la timpul t. Procesul se repeta pentru noua pozitie si asa mai departe.
Cu acesta metoda, solutia este unica chiar si in cazul expus la inceputul postului (x=0) si nu e nevoie de o utilizare separata a principiului I.
Din legea fortei rezulta  F=0 la t=0 si deci a =0 , viteza nu se schimba (deci ramane 0) si ca urmare nici pozitia nu se schimba. 
Chair daca aceasta metoda pare mai putin eleganta si poate nefamiliara, asa se rezolva de obicei problemele reale de fizica. Rezolvarea numerica prin diferiti algoritmi se reduce tot la ceva de genul asta.
Acum ma stept ca o sa se spuna  ca da, dar nu e mai elegant, mai informativ, mai adanc, sa rezolvam analitic si apoi sa aplicam conditiile initiale?
Sant cu totul de acord dar si rezolvarea numerica este la fel de valida si dupa parera mea este mai aproape de fizica problemei (ca exemplu si nu recurs la autoritate, Feynman calculeaza orbitele planetare cu studentii incepatori in fizica prin metoda numerica).

Totusi daca solutia analitica e sa fie folosita, nu ar trebui urmata provedura generala? Adica sa gasim solutia generala si apoi sa aplicam  conditiile la limita pentru aceasta solutie? In cazul ecuatiilor diferentiale de ordinul 2 lineare aceasta metoda asigura unicitatea solutiei fara alte conditii suplimentare. Sau asa credeam.
In cazul ecuatiilor nelineare o fi teoria diferita?
Totusi pentru cazul in discutie solutia generala, pare sa depinda tot de doua constante, ca si in cazul ecuatiilor lineare.
Fiind o forma implicita continand o integrala , mi se pare foarte dificil daca nu imposibil de urmat un procedeu analitic de aplicare a conditiilor.
Totusi cine stie?

[Alexandru Rautu]

Nu am facut nici o greseala de calcul. Conditiile initiale se verifica pentru toate functiile 1), 2) si 3). Fiecare din functiile 1), 2) si 3) verifica conditiile intiale! Poti sa verifici! Evident fiecare 1), 2) si 3) sunt solutii ale ecuatei diferentiale date. Dar numai una este si solutie fizica: si pe aceea am sortat-o cu principiul I al inertiei!


PS: Din calculele mele nu reies decat ca 1) 2) si 3) sunt solutii ale acelei equatii diferentiale. Poti sa-mi spui care anume ar mai fi solutii? Ca sa putem compara rezultatele!

Scuze! M-am grăbit să-ţi răspund, şi-am omis esenţa mesajului tău. Intradevăr, condiţiile iniţiale nu sunt suficiente pentru a stabili unicitatea soluţiei, dar exista o problemă mult mai fundamentală aici! Văd ca nimeni nu a observat-o! Ai definit forţa (în acestă problemă) ca fiind,

[tex]f(x)=x^{1/3} [/tex]

numai că o astfel de forţa nu există în realitatea fizică, pentru ca nu respectă teorema omogenităţii din analiza dimensională (care ne spune ca "O relaţie fizică poate fi reductibilă la o relaţie matematică dacă relaţia este omogenă din punct de vedere dimensional, în raport cu un sistem coerent de mărimi fundamentale"). Cu alte cuvinte, relaţia de mai sus nu este corect dimensional, ci ar trebuie să existe cel puţin o constantă, să zicem [tex]k[/tex], care sa refacă dimensional relaţia:

[tex]f(x)=k x^{1/3} [/tex]

Soluţiile tale, adică 2) şi 3), nu mai pot fi soluţii pentru o forţa definită de ecuaţia de mai sus. De fapt, te provoc să gaseşti o forţa definită de-o ecuaţie, corect dimensională, şi care să necesite, ca-n examplu prezentat de tine, folosirea legii întâi a lui Newton. Baftă!