Problema fizica, plan inclinat

[Higgs]

Detaliaza modul cum ai obtinut-o, si o sa vedem impreuna.

Am aplicat principiul suprapunerii fortelor. Asupra corpului actioneaza mai multe forte. Corpul se deplaseaza pe directia componentei Ax a acceleratiei. Greutatea tangentiala actioneaza in sensul acceleratiei  Ax iar forta de frecare actioneaza in sens opus acesteia.
Expresia greutati tangentiale este: [tex]

G_t=mg\sin \alpha [/tex]

Expresia fortei de frecare este:

[tex]
F_f =N\mu

N=G_t=mg\cos\alpha

F_f=mg\cos\alpha\mu

Prin  urmare:

[tex]
ma\cos \alpha = mg\sin \alpha - mg\cos \alpha \mu
[/tex]

Corect. Algebric cum arata ecuatia asta?

[tex]
ma\sin\alpha=mg\cos\alpha - mg\cos\alpha
[/tex]

Dar ceva este in neregula pentru ca de aici rezulta [tex]ma\sin\alpha=0[/tex]

Va mutlumesc din nou pentru rabdarea de care dati dovada.

[Electron]

Am aplicat principiul suprapunerii fortelor. Asupra corpului actioneaza mai multe forte.

Ok, de acord.

Corpul se deplaseaza pe directia componentei Ax a acceleratiei.

Sa nu uitam ca vorbim de proiectia pe axa Ox. Corpul se deplaseaza pe o traiectorie mai complicata (un arc de parabola). O precizez de dragul rigurozitatii. Stiu ca unii sunt exasperati de asta, sper ca tu sa nu mi-o iei in nume de rau.

Greutatea tangentiala actioneaza in sensul acceleratiei  Ax iar forta de frecare actioneaza in sens opus acesteia.

Edit: Corect. Imi cer scuze, acum am recitit si am observat inca o eroare.
Corpul se deplaseaza in sus pe plan, deci forta e indreptata in jos, in acelasi sens ca si G_t. /Edit.

Expresia greutati tangentiale este: [tex] G_t=mg\sin \alpha [/tex]

Corect.

Expresia fortei de frecare este:

[tex]F_f =N\mu[/tex]

Corect. Obisnuieste-te sa scrii pe [tex]\mu[/tex] ca prim factor in astfel de formule, nu la final, pentru ca altfel se produc confuzii, mai ales cand apare dupa un sinus sau cosinus.

[tex]N=G_t=mg\cos\alpha[/tex]

Aici e greseala. De ce ar fi N = G_t? Ce lege a dinamicii ai aplicat aici si fata de ce sistem de referinta?

Sper sa raspunzi la asta, pentru ca nu intreb doar ca sa ma aflu in treaba. Te intreb ca sa te oblig sa te gandesti ce te-a determinat sa fii sigur pe aceasta relatie, ca sa vezi exact unde ai gresit. Relatia nu s-a scris singura, e rezultatul unui proces intern in urma caruia ai scris-o. Iar in acel proces intern trebuie corectata greseala.

[tex]F_f=mg\cos\alpha\mu[/tex]

Ce zici, e clar daca [tex]\mu[/tex] e argument al functiei cos sau nu, cand il scrii asa ?

[tex] ma\sin\alpha=mg\cos\alpha - mg\cos\alpha [/tex]

Nu te mai intreb sa detaliezi de unde ai obtinut relatia asta (in speta a doua parte a egalitatii) pentru ca e clar ca rezulta din aceeasi confuzie ca mai sus.

Dar ceva este in neregula pentru ca de aici rezulta [tex]ma\sin\alpha=0[/tex]

Cand pleci de la premise false, ajungi in general la rezultate false. Iar cand iti dai seama ca ai ajuns la un rezultat fals, e indicat sa reiei premisele sa vezi de unde vine greseala.


e-

[Higgs]

Edit: Corect. Imi cer scuze, acum am recitit si am observat inca o eroare.
Corpul se deplaseaza in sus pe plan, deci forta e indreptata in jos, in acelasi sens ca si Gt. /Edit.

Aici am o confuzie si va rog sa ma ajutati sa inteleg. Corpul se deplaseaza de-a lungul axei Ox. Cu toate acestea, acceleratia are o alta orientare (in sens opus). Cum este posibil? Conform principiului al doilea al dinamicii, corpul ar trebui sa se deplaseze pe directia si in sensul acceleratiei.

Aici e greseala. De ce ar fi N = Gt? Ce lege a dinamicii ai aplicat aici si fata de ce sistem de referinta?
Sper sa raspunzi la asta, pentru ca nu intreb doar ca sa ma aflu in treaba. Te intreb ca sa te oblig sa te gandesti ce te-a determinat sa fii sigur pe aceasta relatie, ca sa vezi exact unde ai gresit. Relatia nu s-a scris singura, e rezultatul unui proces intern in urma caruia ai scris-o. Iar in acel proces intern trebuie corectata greseala.

Ei bine aici mi-am dat seama ca am gresit. M-am bazat pe faptul ca in general normala este egala cu greutatea tangentiala. In cazul asta nu se aplica, deoarece avem o acceleratie pe directia greutatii tangentiale (acceleratia are acelasi sens cu vectorul greutate). Prin urmare, presupun ca, pe aceasta directie ecuatia corecta ar trebui sa fie:
[tex]
ma\sin \alpha=mg\cos \alpha-N
[/tex]

[Electron]

Edit: Corect. Imi cer scuze, acum am recitit si am observat inca o eroare.
Corpul se deplaseaza in sus pe plan, deci forta e indreptata in jos, in acelasi sens ca si Gt. /Edit.

Aici am o confuzie si va rog sa ma ajutati sa inteleg. Corpul se deplaseaza de-a lungul axei Ox. Cu toate acestea, acceleratia are o alta orientare (in sens opus). Cum este posibil?

Foarte buna intrebarea! E buna, pentru ca multi nici macar nu-si pun aceasta problema.

Este posbil pentru ca legea a doua a dinamicii contine acceleratia si nu viteza. Forta produce o variatie a vitezei (adica o acceleratie). Iar variatia vitezei poate sa aiba un sens, in timp ce viteza sa aiba alt sens. Pe langa exemplul din problema asta, uite alte cateva exemple concludente:
- O minge legata cu ata si rotita deasupra capului in cerc, are viteza mereu tangenta la cerc, in timp ce forta care o accelereaza (si deci acceleratia, adica variatia vitezei) e de-a lungul razei (forta centripeta e tensiunea din fir).
- Un corp aruncat in sus in camp gravitaitional, urca la inceput (viteza orientata in sus) desi singura forta care mai actioneaza asurpa lui este greutatea (care il accelereaza mereu in jos).
- Orice corp care "franeaza" are o acceleratie "negativa" adica o viteza in scadere adica o acceleratie in sens opus vitezei.

Conform principiului al doilea al dinamicii, corpul ar trebui sa se deplaseze pe directia si in sensul acceleratiei.

Nu, nu ar trebui. Adica, nu rezulta asa ceva din principiul al doilea al dinamicii.

Deplasarea se face tangent cu viteza instantanee, in sensul acesteia (sau echivalent spus, viteza instantanee e mereu tangenta la traiectorie si indica directia in care se deplaseaza corpul). Dar principiul al doilea al dinamicii vorbeste de forte si acceleratii, nu de viteze si de deplasari!

Faptul ca in general ne gandim la copruri in repaus, care o pornesc din loc in sensul fortei aplicate (viteza creste si acceleratia e coliniara si in acelasi sens cu viteza), nu inseamna ca viteza e intotdeauna in sensul indicat de forta rezultanta. Nu viteza e data de forta, ci acceleratia! Asta se vede cel mai bine atunci cand nu mai analizam copuri in (sau care pleaca din) repaus ci cele cu viteza initiala nenula, asupra carora actioneaza forte necoliniare cu viteza initiala. (Vezi exemplele de mai sus).

Ei bine aici mi-am dat seama ca am gresit. M-am bazat pe faptul ca in general normala este egala cu greutatea tangentiala normala.

Perfect, aceasta era de fapt eroarea. De fapt, ai aplicat o formula fara sa te gandesti la aplicabilitatea ei in situatia data. Sper cu ocazia asta sa retii ca desi adesea normala e egala cu greutatea normala (nu tangentiala), asta nu e o lege si nu se scrie fara a fi justificata. De asemenea, sper sa retii sa nu aplici niciodata formule pe care nu le verifici. Ce merge in general nu merge in orice caz particular.

In cazul asta nu se aplica, deoarece avem o acceleratie pe directia greutatii tangentiale normale

Corect.

(acceleratia are acelasi sens cu vectorul greutate).

Uita-te mai atent, ce sens are a_y ?

Prin urmare, presupun ca, pe aceasta directie ecuatia corecta ar trebui sa fie:
[tex] ma\sin \alpha=mg\cos \alpha-N [/tex]

Gresit. Atentie la semnele algebrice! (Ele corespund cu relatia dintre sensurile vectorilor implicati, respectiv forte si acceleratii).


e-

[Higgs]

Partea cu acceleratia am inteles-o perfect. Totul are sens acum. Nu mai sunt confuz. Pe directia Oy am gresit ecuatia din neatentie; iertati-ma. Acceleratia Ay este perpendiculara pe planul inclinat si orientata in sus. De aici avem:

[tex]
ma\sin \alpha= N - mg\cos \alpha
[/tex]

[Electron]

Ok, acum, daca iei cele doua ecuatii algebrice corectate (pt cele 2 axe), obtii un sistem, in care ai doua necunoscute ("a" si "N"). Tie iti cere problema sa aflii pe "a". Spor. (Asta e parte de matematica pura, daca o faci cu atentie ajungi la rezultatul final asteptat).

Dupa ce obtii formula lui "a", iti propun sa analizam semnificatia ei, fizic, pentru ca e contraindicat sa inghitim formule matematice fara o analiza a relevantei lor fizice.

e-

[Higgs]

Am reusit.

Analizand miscarea pe axa Ox obtinem:

[tex]
ma\cos \alpha= \mu N + mg\sin \alpha(1)
[/tex]

Analizand miscarea pe axa Oy obtinem:

[tex]
ma\sin \alpha= N - mg\cos \alpha(2)
[/tex]

Acum, tot ceea ce ne-am mai ramas de facut este sa rezolvam sistemul. Scotandu-l pe N de prima relatie si introducandu-l in a doua obtinem ca:


[tex]
a = \frac{{g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha )}}{{\cos \alpha - \mu \sin \alpha }}
[/tex]

Numeric, a=5m/s^2 (rezultatul este aproximativ). Acum ce ar mai fii de facut?

[Electron]

Frumos.

Acum ce ar mai fii de facut?

Ei, distractia abea acum incepe, doar nu credeai ca e gata ?

In primul rand, eu recomand ca dupa obtinerea rezultatului, inainte chiar de a da fuga la raspunsuri sa verifici daca si cartea e de acord cu rezultatul, sa te uiti la el din punct de vedere fizic.

In cazul de fata, formula lui "a" e relativ simpla (nu contine multe marimi fizice), dar observam ca ea contine o acceleratie (pe "g") si o serie de termeni si factori adimensionali (sinusurile, cosinusurile si coeficientul de frecare).
Ei bine, faptul ca "g" este un factor al formulei (poate fi "scos in fata") iar restul formulei e o simpla fractie adimensionala, ne asigura ca rezultatul, dupa atatea manipulari matematice, e coerent fizic. (Cu alte cuvinte dimensiunea fizica al ui "a" va fi aceeasi cu a lui "g", care e o acceleratie! Asta e semn bun ).

Altceva ce putem verifica, mai ales cand avem formule cu fractii, este sa nu cumva sa fie numitorul nul, ca asta denota o eroare mare de tot (undeva prin partea matematica a rezolvarii) care nu are nici un sens fizic. La noi, daca evaluam numeric numitorul, nu obtinem zero. Respiram deci usurati.

Cam atat as avea de spus despre analiza rezultatului din punct de vedere fizic.


Acum, iti propun, inainte sa trecem la rezolvarea fata de celalalt sistem de referinta, sa mai rezolvam (vorba vine, adica sa rezolvi tu) o data problema fata de sistemul de referinta al Pamantului, dar schimband orientarea sistemului de coordonate, ca tot ti-ai pus problema corectitudinii alegerii acestuia din urma. Sa avem Ox orizontal si Oy vertical. Ia sa vedem ce se schimba in rezolvare, si daca ajungi la acelasi rezultat. Cu aceasta ocazie ai sansa sa incerci sa scrii o rezolvare de la cap la coada, si astfel sa faci o recapitulare a ceea ce ai vazut pana acum in aceasta discutie (ramanand la sistemul de referinta al Pamantului). Nu doar calculele sunt importante, ci si redactarea rezolvarii. O rezolvare confuza, chiar daca ajunge la rezultatul bun, denota haos in mintea si metoda celui care o rezolva.

Spor.

e-

[Higgs]

Am inteles. Data viitoare o sa incerc si eu sa interpretez rezultatele pe care le obtin, inainte sa ma verific la raspunsuri. Am inteles perfect aceasta problema. Voi inlocui sistemul de coordonate folosit anterior cu cel care are axa Ox paralela cu Pamantul si axa Oy perpendiculara pe Ox. Insa, dat fiind ca este destul de tarziu, nu sunt sigur ca pot face acest lucru la ora asta, chiar daca nu este o sarcina atat de complicata. Insa nu vreau sa gresesc copilareste. De aceea voi face acest lucru maine (practic, este deja "maine"). Abia astept sa incercam si cealalta rezolvarea, in care avem ca sistem de refereinta planul inclinat. Multumesc mult pentru ajutorul acordat pana in acest moment!

[AlexandruLazar]

Felicitari pentru atitudinea de care ai dat dovada in acest topic! Majoritatea elevilor care vin pe aici dau bir cu fugitii atunci cand nu primesc direct rezolvarea sau atunci cand cineva le spune sa nu aplice orbeste o formula sau alta.

[Electron]

Insa, dat fiind ca este destul de tarziu, nu sunt sigur ca pot face acest lucru la ora asta, chiar daca nu este o sarcina atat de complicata. Insa nu vreau sa gresesc copilareste. De aceea voi face acest lucru maine (practic, este deja "maine").

Nu te grabi/stresa. Suntem pe un forum, nu la examen.


e-

[Higgs]

Buna dimineata! Am terminat. Iata cum am gandit.  Asupra corpului actioneaza trei forte: normala, greutatea si forta de frecare. Ele trebuie descompuse dupa cele doua directii, Ox si Oy. Pe directia Ox, nu avem acceleratie, deci se aplica primul principiu al mecanicii. Cat despre directia Oy, aici exista acceleratie, deci se aplica principiul al doilea al dinamicii. Rezolvarea am facut-o pe o coala de hartie. Pentru ca desenul sa nu se incarce prea mult, si sa devina indescifrabil, am ales sa iau fiecare dintre cele trei forte separat si sa le descompun pe cele doua directii. Dupa ce am scris pentru fiecare directie Ox/Oy ecuatia algebrica si vectoriala, am purces la rezolvarea sistemului. Iata:

[Electron]

Pe directia Ox Oy, nu avem acceleratie, deci se aplica primul principiu al mecanicii. Cat despre directia Oy Ox, aici exista acceleratie, deci se aplica principiul al doilea al dinamicii.

In afara de aceasta minuscula corectura, rezolvarea este corecta. Felicitari!

Dupa cum ai vazut, rezultatul este exact acelasi, doar ecuatiile matematice au fost mai "complicate" din cauza necesitatii descompunerilor fortelor. De acum poate o sa-ti fie mai usor sa alegi sistemul de referinta in functie de ce ai de facut concret in problema si sa nu-l alegi "asa cum il alege toata lumea" automat.

Bun. In curand voi posta elementele teoretice necesare pentru cealalta rezolvare, adica o mica discutie despre fortele de inertie.

e-

[Higgs]

In afara de aceasta minuscula corectura, rezolvarea este corecta. Felicitari!

Am scris gresit, dar am gandit bine. Am scris gresit datoita grabei (ceea ce sper ca nu se va mai intampla). Ati reusit sa imi aratai un lucru foarte important: chiar daca aceasta parte a fizicii se numeste mecanica, problemele ce tin de aceasta arie nu ar trebui rezolvate mecanic! Astept urmatoarea postare a dumneavoastra. Si inca o mica intrebare: de unde stim noi sigur, ca, avand aceasta acceleratie corpul se misca uniform pe planul inclinat? Putem garanta ca se misca accelerat fata de Pamant, dar fata de planul inclinat cum putem garanta? Aceasta este o ultima neclaritate.

[Electron]

Ati reusit sa imi aratai un lucru foarte important: chiar daca aceasta parte a fizicii se numeste mecanica, problemele ce tin de aceasta arie nu ar trebui rezolvate mecanic!

Frumos punctat.

Astept urmatoarea postare a dumneavoastra.

Incearca sa nu ma mai domnesti, sau sa mi te adresezi la plural. Suntem (tu si eu) pe un forum pe internet, eu sunt un individ anonim a carui varsta e irelevanta. Aici se discuta ideile si argumentele, nu persoanele. In plus, ma faci sa ma simt mai batran decat consider ca sunt.

Si inca o mica intrebare: de unde stim noi sigur, ca, avand aceasta acceleratie corpul se misca uniform pe planul inclinat?

La nivel teoretic, suntem siguri pentru ca am calculat acceleratia folosind conditia impusa de problema: sa fie viteza constanta fata de planul inclinat. Daca viteza nu era considerata constanta (ci am fi avut vreo acceleratie fata de plan), si rezultatul final ar fi fost diferit.

La nivel practic, se poate verfica experimental. Asta ar fi o tema de "laborator" la fizica foarte interesanta: verificarea practica a acestui tip de probleme. (Unele se verifica mai usor cu materialele din scoli si licee decat altele). Daca modelul fizic folosit (mecanica clasica) este adecvat situatiei din problema, rezultatul teoretic va fi verificat (in limita erorilor experimentale) de practica. Daca nu, trebuie revizuit modelul teoretic folosit.

Putem garanta ca se misca accelerat fata de Pamant, dar fata de planul inclinat cum putem garanta? Aceasta este o ultima neclaritate.

Conform mecanicii clasice folosite, daca aplicam acceleratia obtinuta la rezultat, vom obtine o viteza constanta a corpului fata de plan. Ce e interesant e faptul ca nimeni (nici problema nici noi doi) nu am facut nici o presupunere legata de valoarea vitezei constante. E oare o viteza mare, sau mica? Teoretic nu conteaza, atata timp cat e diferita de zero, adica nu avem repaus fata de plan.

Ca o mica completare, in general se poate determina faptul ca, pentru fiecare doua suprafete in contact, exista de fapt 2 coeficienti de frecare diferiti: unul static si unul dinamic. Cel static este de regula mai mare decat cel dinamic. Asta inseamna ca "e mai greu sa urnesti" un corp/sistem afectat de frecare decat "sa-l mentii in miscare" o data ce a pornit (repet, pentru ca avem de invins frecari).

De aceea problema precizeaza ca avem corpul in miscare (si nu in repaus). Ce, credeai ca daca era in repaus fata de plan, nu aveam forta de frecare ?

Aici intervine insa complicatia practica. Daca vrem sa facem experimentul din problema, si plecam din situatia (normala de altfel) in care planul si corpul sunt in repaus fata de masa/suport/Pamant, atunci, vom observa ca, aplicand acceleratia calculata, nu se intampla ceea ce zice problema! Am gresit noi la calcule? Nu! Doar ca noi nu am calculat pe "a" pentru pornirea de pe loc.  

Asta inseamna ca, pentru a ajunge in situatia din problema, e nevoie de o faza "tranzitorie" in care sa facem sa porneasca corpul pe plan (ca sa avem forta de frecare dinamica si nu statica), situatie in care vom putea aplica acceleratia noastra din problema. Ei bine, in functie de ce viteza are corpul fata de plan la finalul fazei tranzitorii (iar valoarea concreta nu conteaza, conform modelului teoretic!), acea viteza o va pastra constanta pe plan cat timp mentinem acceleratia calculata (si nu se termina planul ).

Daca te intereseaza sa studiem si cazul in care corpul e initial in repaus pe plan si ce acceleratii necesare urnirii lui sunt necesare, nu e nevoie decat sa declari asta si sa ramai aici si dupa ce facem rezolvarea fata de planul inclinat pentru problema de la inceput.


e-