Problema fizica, plan inclinat

[Higgs]

Salut! Am o problema la fizica pe care nu reusesc sa o inteleg. Iata enuntul:
"Pe un plan inclinat de unghi /alpha/=30 se afla un corp. Coeficientul de frecare este 0,1. Aflati cu ce acceleratie orizontala trebuie deplasat planul inclinat astfel incat corpul sa urce unfirom pe plan."
Calea de rezolvare pe care am pornit eu este urmatoarea: Am desenat planul inclinat, si am reprezentat vectorul acceleratie, orientat spre dreapta. Am descompus vectorul acceleratie dupa doua directii: una paralela cu planul si alta perpendiculara cu planul. Corpul trebuie sa urce uniform deci avem urmatoarea relatie:

[tex]
m\vec a_p + \vec G_t + \vec N\mu = 0 => ma\cos \alpha - mg\sin \alpha - mg\cos \alpha \mu = 0 => a = \frac{{g(\cos \alpha \mu + \sin \alpha )}}{{\cos \alpha }}[/tex]

Uitandu-ma la raspunsuri, am aflat ca asta era ceea ce trebuia sa obtin:

[tex]a= \frac{{g(\cos \alpha \mu + \sin \alpha )}}{{\cos \alpha - \mu \sin \alpha }}[/tex]

Asta inseamna ca am trecut ceva cu vederea. Ma poate ajuta cineva sa imi dau seama ce? Am mai departe o serie de probleme in care planul inclinat se misca(asemanatoare cu aceasta), si as vrea sa inteleg fenomenul. Multumesc anticipat!

<reparat taguri tex>

[Electron]

In primul rand, ar fi indicat sa prezinti si desenul, sa vedem daca l-ai facut corect.

In al doilea rand, relatia asta:

[tex]m\vec a_p + \vec G_t + \vec N\mu = 0 [/tex]

este o relatie vectoriala. Poti observa, daca desenul e facut corect, faptul ca aceste forte nu sunt coliniare. Ce-ti spune asta?

In al treilea rand, cand aplici o asemenea relatie, e indicat sa explici de unde rezulta ea. E cumva urmare a vreunei legi a dinamicii? Care ?

[tex]=> ma\cos \alpha - mg\sin \alpha - mg\cos \alpha \mu = 0 [/tex]

Pe ce axa ai descompus vectorii ca sa scrii relatia asta?

Asta inseamna ca am trecut ceva cu vederea. Ma poate ajuta cineva sa imi dau seama ce?

Daca esti dispus sa dialoghezi aici, nu sa primesti rezolvari mura in gura, se prea poate.


e-

[Higgs]

Acesta este desenul:

Normal ca sunt dispus sa comunic, pentru ca nu vreau sa primesc mura in gura. Ce rost ar avea? O problema trebuie inteleasa nu rezolvata mecanic. In continuare, voi incerca sa explic cum am gandit:
Corpul se deplaseaza pe planul inclinat, deci asupra lui trebuie sa actioneze o forta F, pe directia deplasarii, adica de-a lungul planului inclinat. In continuare am aplicat principiul al doilea al dinamicii: F=m*a. Aceasta acceleratie este ap. pe Ap l-am obtinut descompunand acceleratia orizontala pe doua directii: una paralelea cu planul inclinat iar alta perpendiculara pe planul inclinat. Deci: F=m*ap. Dar, asupra corpului actioneaza mai multe forte:
Pe directia Ox actioneaza: F, Ff, Gt. Pe directia Oy actioneaza: N si Gn. Rezultanta fortelor de pe directia Oy este 0, corpul ramanand pe plan in timpul deplasarii (nu-i asa?). Pe directia Ox am aplicat principiul al III-lea al dinamicii. Miscarea fiind rectilinie si uniforma, suma fortelor ce actioneaza pe aceasta directie trebuie sa fie 0. In final, am scos din ecuatie acceleratia. Acesta este modul cum am gandit. Am postat aici, deoarece nu am inteles problema, nu sunt 100% convins ca am judecat corect, si tocmai asta este cauza pentru care am venit aici: sa invat. Multumesc anticipat

[Electron]

Acesta este desenul:

Hmm, desenul este gresit, de aici incolo tot ce ai calculat pe baza lui e gresit de asemenea. Hai sa vedem de ce.

Normal ca sunt dispus sa comunic, pentru ca nu vreau sa primesc mura in gura. Ce rost ar avea? O problema trebuie inteleasa nu rezolvata mecanic.

Suntem de acord. Sper sincer sa primsesti ajutorul pe care-l cauti aici (eu voi incerca sa te ajut) si sa nu-ti para rau ca discuti cu cei de pe forum.

In continuare, voi incerca sa explic cum am gandit:
Corpul se deplaseaza pe planul inclinat, deci asupra lui trebuie sa actioneze o forta F, pe directia deplasarii, adica de-a lungul planului inclinat.

Aici este deja prima greseala din rationament. Ce fel de miscare are corpul fata de planul inclinat? Conform problemei, are viteza constanta (in sus pe plan). Ce conditii indeplineste un corp cu viteza constanta (fata de un reper dat), conform primei legi a dinamicii?

Ma opresc deocamdata aici, deoarece nu are rost sa intram in calcule pana nu clarificam urmatoarea problematica:
Ce referential alegem pentru a rezolva aceasta problema? (Problema asta este in special frumoasa pentru ca permite doua rezolvari diferite, in functie de alegerea referentialului). Daca vei ramane pana la capatul discutiei, promit sa prezint (daca nu o face altcineva inainte) ambele rezolvari complete.

Concluzia de pana acum: inainte sa faci desenul, in general e nevoie sa alegi un referential si sa intelegi corect ce impact are el asupra rezolvarii pe care o faci.

e-

[Higgs]

Aici este deja prima greseala din rationament. Ce fel de miscare are corpul fata de planul inclinat? Conform problemei, are viteza constanta (in sus pe plan). Ce conditii indeplineste un corp cu viteza constanta (fata de un reper dat), conform primei legi a dinamicii?

Fata de planul inclinat corpul are o miscare rectiline uniforma. Conform primului principiu al dinamicii (principiul inertiei), un corp aflat in miscare rectiline si uniforma sau in repaus isi mentine aceasta stare, atat timp cat asupra lui nu interactioneaza nicio alta forta, sau rezultanta fortelor ce actioneaza asupra lui este 0.

Ce referential alegem pentru a rezolva aceasta problema?

M-am gandit in felul urmator: corpul se afla in miscare fata de planul inclinat, si fata de pamant. Planul inclinat se afla in miscare fata de pamant. Deci, ca sistem de referinta am putea alege Pamantul. Te rog frumos sa-mi spui daca am judecat bine, iar daca am facut-o, sa imi spui si al doliea reper pe care l-am putea alege. Multumesc inca o data pentru ajutor, imi place stilul acesta de comunicare.

[Electron]

Fata de planul inclinat corpul are o miscare rectiline uniforma. Conform primului principiu al dinamicii (principiul inertiei), un corp aflat in miscare rectiline si uniforma sau in repaus isi mentine aceasta stare, atat timp cat asupra lui nu interactioneaza nicio alta forta, sau rezultanta fortelor ce actioneaza asupra lui este 0.

Bun, de acord. Intelegi de ce este acest lucru relevant pentru eroarea pe care am indicat-o? (Daca da, explica ce concluzie tragi din acest principiu in cazul tau).

Ce referential alegem pentru a rezolva aceasta problema?

M-am gandit in felul urmator: corpul se afla in miscare fata de planul inclinat, si fata de pamant. Planul inclinat se afla in miscare fata de pamant. Deci, ca sistem de referinta am putea alege Pamantul.

Da, unul din sistemele de referinta pe care-l putem alege este Pamantul.

Dar, tocmai aici este chichita problemei: ce fel de referential este Pamantul in aceasta problema? Concret: este un sistem inertial sau neinertial? De fiecare data cand intr-o problema apar acceleratii, diferenta este esentiala.

Te rog frumos sa-mi spui daca am judecat bine,

Pentru aceasta problema, a observa ca avem un corp care se deplaseaza fata de un plan, si un plan care se deplaseaza fata de Pamant, nu e suficient. Daca ar fi vorba de deplasari rectilinii si uniforme in ambele cazuri, atunci nu ar impacta asa mult problema. Dar aici, e esential sa intelegi clar ce fel de miscari sunt implicate.

imi spui si al doliea reper pe care l-am putea alege.

Pai, daca o luam logic, nu avem de ales decat intre trei sisteme de referinta, pentru ca avem doar 3 "corpuri" implicate in problema:
1) corpul de pe plan
2) planul inclinat
3) Pamantul

A alege un sistem de referinta solidar cu corpul de pe plan nu ne prea ajuta, deoarece in acel sistem de referinta corpul insusi este in repaus, deci stim doar ca rezultanta fortelor asupra centrului sau de masa e mereu nula. Nu uita ca "rezultanta fortelor care actioneaza asupra unui corp" e ceva ce depinde de sistemul de referinta ales.
Edit: desigur, am putea analiza miscarea planului inclinat si a Pamantului din acest sistem de referinta, dar mai simplu e sa studiem miscarea corpului din alte sisteme de referinta pentru a raspunde la ce ne cere problema. /Edit.

Ne raman doua optiuni, pe una ai propus-o tu: Pamantul. Cealalta este, prin eliminare, planul inclinat.

Intrebarea urmatoare, esentiala, este: ce fel de sisteme de referinta sunt Pamantul si planul inclinat in aceasta problema?


e-

[Higgs]

Bun, de acord. Intelegi de ce este acest lucru relevant pentru eroarea pe care am indicat-o? (Daca da, explica ce concluzie tragi din acest principiu in cazul tau).

Ei bine, presupun ca daca acest corp are o miscare rectiline si uniforma, atunci nu pot spune ca asupra lui actioneaza o forta F=m*ap, nu-i asa?

Intrebarea urmatoare, esentiala, este: ce fel de sisteme de referinta sunt Pamantul si planul inclinat in aceasta problema?

Nu sunt sigur daca pot da un raspuns corect la aceasta intrebare. Din cate stiu eu sistemele inertiale sunt cele in care putem aplica principiul inertiei. Planul se misca cu o anumita acceleratie, deci nu putem aplica principiul inertiei aici. In concluzie planul inclinat este un sistem de referinta neinertial. Cat despre Pamant, acesta ar trebui sa fie un sistem de referinta inertial.

[Electron]

Ei bine, presupun ca daca acest corp are o miscare rectiline si uniforma, atunci nu pot spune ca asupra lui actioneaza o forta F=m*ap, nu-i asa?

Da, asa este, din sistemul de referinta in care are o miscare rectilinie si uniforma. Adica, fata de sistemul de referinta legat de plan, rezultanta fortelor care actioneaza asupra corpului trebuie sa fie nula.

Intrebarea urmatoare, esentiala, este: ce fel de sisteme de referinta sunt Pamantul si planul inclinat in aceasta problema?

Nu sunt sigur daca pot da un raspuns corect la aceasta intrebare.

Sa vedem:

Din cate stiu eu sistemele inertiale sunt cele in care putem aplica principiul inertiei.

Aproape corect. Principiul inertiei (prima lege a dinamicii) se aplica exact la fel in toate sistemele de referinta, adica, se scrie la fel: atata timp cat rezultanta fortelor e nula, corpul isi pastreaza starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma (fata de reperul considerat).

Varianta corecta (in mecanica clasica) este: sistemele inertiale sunt cele in care putem aplica principiul inertiei fara a avea nevoie sa introducem forte de inertie.

Poate ai auzit spunandu-se ca forta de inertie este o "pseudoforta". Ea apare doar in sistemele de referinta neinertiale (pentru a putea scrie la fel legile dinamicii), dar cum ea depinde de alegerea referentialului (spre deosebire de greutate,  forta de frecare etc), neexistand in sistemele de referinta inertiale, e considerata "pseudoforta" (la fel ca forta centrifuga).

Pentru fizica mai avansata (Relativitatea Generalizata) situatia e mai complexa, dar sa nu deviem prea mult.

Planul se misca cu o anumita acceleratie, deci nu putem aplica principiul inertiei aici. In concluzie planul inclinat este un sistem de referinta neinertial.

Formularea este fortata si eu o consider gresita. Putem aplica principiul inertiei si in functie de planul inclinat, dar trebuie sa nu uitam sa introducem fortele de inertie corespunzatoare.
Oricum, ai intuit corect: planul inclinat este un sistem de referinta neinertial aici, si stim asta deoarece se deplaseaza accelerat fata de Pamant, care e un sistem de referinta inertial (il consideram fix in aceasta problema).

Cat despre Pamant, acesta ar trebui sa fie un sistem de referinta inertial.

Asa este. De obicei nu se specifica asta in probleme, deoarece pentru cei care formuleaza problemele, asta pare evident. Dar e problematic atunci cand consideram Pamantul in probleme in care analizam miscarea sa in Sistemul Solar de exemplu. (In acele situatii Pamantul nu mai este un sistem de referinta inertial!).

Bun, sa recapitulam putin:
Pamantul e considerat in acest fel de probleme (unde nu se spune nimic special despre Pamant) sistem de referinta inertial. Cand analizam miscarea corpurilor in acest sistem de referinta, adica atunci cand scriem legile dinamicii, nu avem nevoie de forte de inertie.

Planul inclinat, conform problemei, se misca accelerat fata de Pamant, deci nu este un sistem de referinta inertial , ci neinertial. Cand analizam miscarea corpurilor in acest sistem de referinta, adica atunci cand scriem legile dinamicii, avem nevoie de forte de inertie.

Urmatoarea intrebare: in ce sistem de referinta preferi sa rezolvi problema ? (Eu recomand sa o rezolvam impreuna in ambele sisteme de referinta, sa vezi diferenta, dar intreb cu care vrei sa incepem).


e-

[Higgs]

In primul rand as vrea sa incep multumindu-ti pentru rabdarea acordata. Crezi sau nu, ai reusit sa ma ajuti sa imi clarifici cateva confuzii si sa imi consolidez cunostintele. Am inteles tot ceea ce ai spus. Cum spunea Einstein: "If you can't explain it simply you don't undrestand it well enough." Eu as dori sa rezolvam prima oara problema, utilizand ca sistem de referinta Pamantul. Si as avea o rugaminte: atunci cand vom introduce in rezolvare acele forte inertiale, te-as ruga sa subliniezi putin, deoarece e prima oara cand aud de acest concept (sunt clasa a9-a). Acestea fiind spuse, de unde incepem rezolvarea?

[Electron]

Eu as dori sa rezolvam prima oara problema, utilizand ca sistem de referinta Pamantul.

Ok.

Si as avea o rugaminte: atunci cand vom introduce in rezolvare acele forte inertiale, te-as ruga sa subliniezi putin, deoarece e prima oara cand aud de acest concept (sunt clasa a9-a).

Bun, de retinut ca in sistemele de referinta inertiale, nu exista (pseudo)forte de inertie. Asta e important pentru prima rezolvare din acest punct de vedere.

Acestea fiind spuse, de unde incepem rezolvarea?

Am stabilit ca rezolvam prima data in functie de sistemul de referinta inertial al Pamantului. Ca sa faci desenul corect, trebuie sa-ti pui urmatoarea intrebare : cum se misca fata de Pamant corpurile implicate in problema (avem doua : planul inclinat si corpul de pe plan) ? Ce trebuie stabilit in primul rand este ce fel de miscare avem, accelerata sau neaccelerata? Apoi, iti alegi un sistem de coordonate si stabilesti pe ce directii ale sistemului de coordonate ales se misca aceste corpuri.

Abea in pasul urmator vom reprezenta fortele implicate pe desen.


e-

[Higgs]

Ca sa faci desenul corect, trebuie sa-ti pui urmatoarea intrebare : cum se misca fata de Pamant corpurile implicate in problema (avem doua : planul inclinat si corpul de pe plan) ? Ce trebuie stabilit in primul rand este ce fel de miscare avem, accelerata sau neaccelerata? Apoi, iti alegi un sistem de coordonate si stabilesti pe ce directii ale sistemului de coordonate ales se misca aceste corpuri.

Avem trei miscari. In primul rand planul se misca, fata de Pamant. Miscarea planului este accelerata. In al doilea rand avem miscarea corpului,fata de plan. Miscarea corpului fatade plan este rectilinie uniforma. In al treilea rand avem miscarea corpului fata de pamant, care este accelerata.

[Electron]

Avem trei miscari. In primul rand planul se misca, fata de Pamant. Miscarea planului este accelerata. In al doilea rand avem miscarea corpului,fata de plan. Miscarea corpului fatade plan este rectilinie uniforma. In al treilea rand avem miscarea corpului fata de pamant, care este accelerata.

Corect.

Fa desenul cu planul inclinat si corpul (o sa fie o "fotografie" a miscarii oricum), si marcheaza pe desen vectorii acceleratie si viteza implicati. De exemplu, alaturi de plan desenezi vectorul acceleratie "a", iar alaturi de corp un vector viteza (ca sa stim cum se misca in problema). Apoi in cuvinte precizezi ce inseamna acei vectori ca sa nu fie ambiguitati. De observat ca asta nu are de-a face cu sistemul de coordonate, ci doar cu conditiile descrise de problema.

Urmeaza apoi sa-ti alegi sistemul de coordonate. Dupa aceea, ajungem la analiza fortelor implicate. Spor.


e-

[Higgs]

Iata desenul:

Fortele ce actioneaza sunt:

Forta de frecare(verde), care trage corpul in jos.
Normala(reprezentat cu negru). Actunea planului asupra corpului.
Greutatea(reprezentata cu rosu) descompusa in greutatea tangentiala si greutatea normala. Greutatea tangentiala, de asemenea trage corpul in jos.  Gretuatea normala este actiunea corpului asupra planului.

Vectorii viteza si acceleratie:
Vectorul accelereatie, a(acceleratia planului), a fost descompus in vectorul ax(acceleratia corpului) si vectorul ay.
Vectorul viteza, vp(viteza planului) a fost descompus in vectorul vc(viteza corpului) si vectorul vy.
Nu sunt sigur daca ar mai trebui sa reprezint si forta F, care trage corpul in sus. Ar trebui, nu-i asa?

[Electron]

Iata desenul:

Ai gresit iar desenul. Era vorba sa stabilim mai intai care sunt miscarile din problema si sa reprezentam acceleratiile si vitezele.

Legat de acceleratia planului: esti sigur ca are sensul desenat de tine? Cum o sa urce corpul pe plan daca planul "fuge de sub el" ? Gandeste-te practic, cum trebuie sa misti un plan inclinat sub un corp, ca sa ai vreo sansa sa urce corpul pe plan.

Legat de viteza, ce directie are ea? Vorbim de viteza corpului de pe plan, fata de plan.

Fortele ce actioneaza sunt:

Forta de frecare(verde), care trage corpul in jos.

Mai corect este sa spui ca forta de frecare se opune deplasarii corpului. Orientarea ei este corecta (deoarece problema spune ca avem corpul deplasandu-se in sus pe plan)

Normala(reprezentat cu negru). Actunea planului asupra corpului.

Ok. Si ea e reprezentata corect.

Greutatea(reprezentata cu rosu) descompusa in greutatea tangentiala si greutatea normala. Greutatea tangentiala, de asemenea trage corpul in jos.  Gretuatea normala este actiunea corpului asupra planului.

Ok. De acord si cu descompunerea (dat fiind sistemul de coordonate ales).

Vectorii viteza si acceleratie:
Vectorul accelereatie, a(acceleratia planului), a fost descompus in vectorul ax(acceleratia corpului) si vectorul ay.

Cum ziceam mai sus, ai desenat gresit acceleratia. Iar descompunerea ei pe axe, nu prea este necesara. Acceleratia o desenam doar pentru a identifica mai usor fortele implicate (si asta o facem identificand mai usor directia rezultantei).

Vectorul viteza, vp(viteza planului) a fost descompus in vectorul vc(viteza corpului) si vectorul vy.

Si vectorul viteza este desenat gresit, daca vorbim de viteza corpului fata de plan. Forma traiectoriei corpului fata de Pamant (fiind vorba de o compunere a unei miscari accelerate si una neaccelerata, necoliniare) e complicata si nu are sens sa ne complicam in acest fel. Deci deseneaza viteza corpului fata de planul inclinat si precizeaza asta in rezolvare, si scapam mai simplu.

Acum o intrebare de multe puncte: data fiind miscarea compusa a corpului fata de Pamant, cum e orientata acceleratia corpului fata de Pamant? Gandeste-te bine inainte sa raspunzi.

Nu sunt sigur daca ar mai trebui sa reprezint si forta F, care trage corpul in sus. Ar trebui, nu-i asa

Nu, nu ar trebui, deoarece pentru a se misca intr-o anumita directie nu e nevoie sa fie o forta care sa "traga" in acea directie. Asta e valabil doar la acceleratii: pentru ca un corp sa fie accelerat intr-o anumita directie, e nevoie ca forta rezultanta asupra corpului sa fie orientata in acea directie (vezi legea a doua a dinamicii).


e-

[Higgs]

La reprezentarea acceleratiei am gresit copilareste. Trebuie orientata in sens opus, altfel corpul nu ar avea nicio sansa sa urce. Am refacut desenul:

Acum o intrebare de multe puncte: data fiind miscarea compusa a corpului fata de Pamant, cum e orientata acceleratia corpului fata de Pamant? Gandeste-te bine inainte sa raspunzi.

.
Hmmm, sa vedem...Corpul se misca rectiliniu si uniform fata de plan, deci acceleratia lui fata de plan este 0. Planul se misca accelerat fata de Pamant, corpul fiind pe plan, ar trebui sa aiba acceleratia orientata la fel ca cea a planului. Sunt macar pe aproape?