Probleme de tip Grila admitere UTC

[bacfizica]

Restul impartiri polinomului (x+1)⁶⁰¹ - X⁶⁰¹ - 1  la  (x² +x+1)² este:
A. 0  B.  X+2  C. X²+2  D. X³ +2 E Alt Raspuns.  

Raspunsul corect este A, dar cum se rezolva?

[A.Mot-old]

Restul impartiri polinomului (x+1)⁶⁰¹ - X⁶⁰¹ - 1  la  (x² +x+1)² este:
A. 0  B.  X+2  C. X²+2  D. X³ +2 E Alt Raspuns.  

Raspunsul corect este A, dar cum se rezolva?

Teorema lui Bezout,formula lui Moivre si conditia ca o functie sa aiba radacini multiple .......
Presupun ca este vorba de x si nu de X........Stiind care sunt solutiile ecuatiei (x² +x+1)²=0 putem vedea daca acestea sunt sau nu si solutii ale ecuatiei (x+1)⁶⁰¹ - x⁶⁰¹ - 1=0 si asa aflam si cat este restul.......

[bacfizica]

Multumesc, la problema asta , zice in carte ca raspunsul corect este B , de ce nu ar fi C?

[A.Mot-old]

Multumesc, la problema asta , zice in carte ca raspunsul corect este B , de ce nu ar fi C?

Poate ca enuntul ar trebui sa fie:"Care este multimea valorilor lui x unde nu este definit acel radical?".
Sa facem graficul acelei functii f(x)=x^u unde u=(6-x²)^-1......si daca enuntul este cum am spus eu atunci raspunsul este cel de la D adica 4 elemente.

[bacfizica]

Sursa http://www.mathe-fa.de/

[zec]

Multumesc, la problema asta , zice in carte ca raspunsul corect este B , de ce nu ar fi C?

Poate ca enuntul ar trebui sa fie:"Care este multimea valorilor lui x unde nu este definit acel radical?".
Sa facem graficul acelei functii f(x)=x^u unde u=(6-x²)^-1......si daca enuntul este cum am spus eu atunci raspunsul este cel de la D adica 4 elemente.

gresit,radicalul e numit si putere rationala deci ca acel radical sa aiba sens trebuie ca 6-x² sa fie numar natural si mai mare strict decat 1 altfel numai e putere rationala.Deci 6-x² nu poate lua decat valorile 2,3,4,5 si 6 deoarece 6 e valoarea maxima intreaga pe care o ia .De aici se obtin 9 solutii dar la radicali pari cele negative nu convin si atunci mai eliminam 2 solutii la cazurile 2 si 4 intrucat la 6 nu avem x negativ etc.Deci raspuns corect 7 solutii.
La problema cu polinomul ai sugerat formula lui Moivre dar era gresit indicatia(nu ca nu ar functiona ci din cauza ca pe calea asta consumi mult timp).Trebuia remarcat ca radacinile lui x²+x+1 sunt radacini de ordin 3 ale unitati mai concret la puterea a 3 fac 1.Restul la impartirea era 0 se remarca  ca sunt radacini duble si pentru polinomul cerut astfel :
Fie [tex]\alpha[/tex] o radacina a aceluii polinom atunci [tex]\alpha^2+\alpha+1=0[/tex] de unde obtii ca [tex]\alpha+1=-\alpha^2[/tex] si introducand in polinom vei avea [tex](\alpha+1)^{601}-\alpha^{601}-1=(-\alpha^2)^{601}-\alpha^{601}-1[/tex] si asa mai departe si ti cont ca[tex]\alpha^3=1[/tex] si vei obtine egal cu 0 si astfel e radacina si automat si conjugata sa intrucat e polinom cu coef reali .
Ca sa arati ca e radacina dubla atunci trebuie sa fie si radacina pentru polinomul derivat.Derivezi si se verifica imediat ca este radacina si ptr polinomul derivat deci rezulta ca acel polinom divide polinomul dat(contine toate radacinile plus cele multiple) si astfel restul e 0

[A.Mot-old]

Multumesc, la problema asta , zice in carte ca raspunsul corect este B , de ce nu ar fi C?

Poate ca enuntul ar trebui sa fie:"Care este multimea valorilor lui x unde nu este definit acel radical?".
Sa facem graficul acelei functii f(x)=x^u unde u=(6-x²)^-1......si daca enuntul este cum am spus eu atunci raspunsul este cel de la D adica 4 elemente.

gresit,radicalul e numit si putere rationala deci ca acel radical sa aiba sens trebuie ca 6-x² sa fie numar natural si mai mare strict decat 1 altfel numai e putere rationala.Deci 6-x² nu poate lua decat valorile 2,3,4,5 si 6 deoarece 6 e valoarea maxima intreaga pe care o ia .De aici se obtin 9 solutii dar la radicali pari cele negative nu convin si atunci mai eliminam 2 solutii la cazurile 2 si 4 intrucat la 6 nu avem x negativ etc.Deci raspuns corect 7 solutii.
La problema cu polinomul ai sugerat formula lui Moivre dar era gresit indicatia(nu ca nu ar functiona ci din cauza ca pe calea asta consumi mult timp).Trebuia remarcat ca radacinile lui x²+x+1 sunt radacini de ordin 3 ale unitati mai concret la puterea a 3 fac 1.Restul la impartirea era 0 se remarca  ca sunt radacini duble si pentru polinomul cerut astfel :
Fie [tex]\alpha[/tex] o radacina a aceluii polinom atunci [tex]\alpha^2+\alpha+1=0[/tex] de unde obtii ca [tex]\alpha+1=-\alpha^2[/tex] si introducand in polinom vei avea [tex](\alpha+1)^{601}-\alpha^{601}-1=(-\alpha^2)^{601}-\alpha^{601}-1[/tex] si asa mai departe si ti cont ca[tex]\alpha^3=1[/tex] si vei obtine egal cu 0 si astfel e radacina si automat si conjugata sa intrucat e polinom cu coef reali .
Ca sa arati ca e radacina dubla atunci trebuie sa fie si radacina pentru polinomul derivat.Derivezi si se verifica imediat ca este radacina si ptr polinomul derivat deci rezulta ca acel polinom divide polinomul dat(contine toate radacinile plus cele multiple) si astfel restul e 0

1.-Eu m-am gandit ca acel radical este de fapt (la liceu) o functie exponentiala si deci nu vad de ce nu am avea si 6-x²<1 caci rezulta foarte clar tot un radical de putere rationala.......-1/43 este un numar rational?
2.-In cazul restului impartirii celor doua polinoame sunt cai diverse de rezolvare si eu am ales-o pe aceasta si nu este chiar asa de lunga si consumatoare de timp......si stii ca uneori cea mai buna cale este cea pe care o cunosti cel mai bine altfel te poti rataci.........este adevarat ca un artificiu de calcul sau o observatie care sa usureze rezolvarea unei probleme este bine venit dar cand esti sub cronometru alergi pe drumul stiut mai bine........

[zec]

radicalul nu e functie exponentiala.Functia exponentiala are variabila la exponent.Radicalul e o putere rationala de forma m/n si n se numeste ordinul radicalului.Radicalul e definit numai pe ceea ce inseamna puteri strict rationale caz in care numitorul intodeauna e numar pozitiv si diferit de 1 intrucat am vorbi de puteri intregi ceea ce ar fi absurd sa fie asociat cu radicali.Daca puterea e un numar rational negativ semnul minus ii se da numaratorului.

[A.Mot-old]

Daca puterea e un numar rational negativ semnul minus ii se da numaratorului.

In care matematica se specifica asta?1/(-43) nu este un numar rational?
Sa zicem ca enuntul ar fi cum am spus eu atunci care este rezultatul?

[Pozitron]

A.Mot, era vorba sa nu mai dai indicatii in aceasta sectiune " Rezolvare de probleme / teme pentru acasă" (nici la matematica, nici la fizica, nici la lat obiect), deoarece riscul de a incurca si mai tare pe cei care pun intrebari e prea mare in cazul tau.
Te rog sa nu mai insisti. Daca ai intrebari si neclaritati poti sa le adresezi aici, dar nu mai da indicatii.

<Pozitron>

[zec]

Daca puterea e un numar rational negativ semnul minus ii se da numaratorului.

In care matematica se specifica asta?1/(-43) nu este un numar rational?
Sa zicem ca enuntul ar fi cum am spus eu atunci care este rezultatul?

Intai o observatie,daca eram un fraier si nu stiam ce zic nu ma bagam in astea.Daca consideri ca am facut vreo greseala e foarte bine daca intradevar am gresit,dar cand nu am gresit si tratezi afirmatiile mele ca pe unele eronate aici gresesti tu si mi se pare grav din partea ta mai ales ca o faci cu o intrebare ironica.
1/-43=-1/43 si atunci de ce sa consideram negative ordinele de la radical cand putem sa alegem pozitiv?Pe alta parte definitia riguroasa a radicalului pleaca de la inversa lui [tex]x^n[/tex] deoarece studiind de exemplu functia [tex]x^{-n}[/tex] e echivalenta cu studiul functiei [tex]\frac{1}{x^{n}}[/tex].Problema nu se pune la cum arata numerele rationale pentru ca ele nu se definesc dupa cum arata radicali.Eu am pus problema la cum arata puterile rationale.

[sicmar]

radicalul e numit si putere rationala deci ca acel radical sa aiba sens trebuie ca 6-x² sa fie numar natural si mai mare strict decat 1 altfel numai e putere rationala.

1.
Radicalul este definit doar pentru indici numere naturale. Punct. Parte cu roşu în textul citat este în plus şi crează confuzie.
Că radicalul o fi numit şi putere raţională o fi, dar eu n-am întâlnit asta până acum.
Că valoarea radicalului poate fi exprimată şi sub formă de putere raţională este perfect adevărat dar asta n-are legătură cu definiţia radicalului.

2. Contează definiţia radicalului şi sub alt aspect: Indicele poate / nu poate fi egal cu 1?
În condiţii de examen trebuie mers după definiţia de manual.
Nu ştiu dacă în manualele româneşti apare condiţia ca indicele să fie strict mai mare decât 1 dar în wikipedia în limba română această condiţie apare.
Şi wikipedia în limba germană impune indicele mai mare decât 1.

În literatura engleză se cere doar ca indicele să fie întreg pozitiv; la fel este şi în wikipedia în engleză.

Că indicele 1 este oarecum anormal nu înseamnă că el nu poate fi folosit.

@ A.Mot.
Dacă vrei să extinzi definiţia radicalului şi la indici care nu sunt numere naturale n-ai decât. Sugerez s-o extinzi chiar dincolo de valori numerice, de exemplu să defineşti radicalul cu incicele Funeriu. Nu se supără nimeni, cu condiţia să anunţi că foloseşti definiţii proprii.
Până atunci, ar fi bine să vezi măcar definiţia radicalului dată de wikipedia în limba română, nu să rămâi pe creangă cu amintiri din copilărie.

[zec]

 Sincer nu am apelat la wikipedia sa vad ce zic pe acolo,m-am uitat si sincer mi se pare foarte sumar definit.
 Definitia radicalului se face cu ajutorul functiei inverse a functiei putere.In aceeasi idee se defineste si logaritmul cu exponentiala doar ca aici mai exista si posibilitatea sa se defineasca pe relatia functionala f(x)+f(y)=f(xy) unde f:(0,inf)->R si singurele functii continue care satisfac aceasta relatie sunt logaritmi.La radicali nu avem decat o singura forma de a defini cea precizata mai devreme si anume ca fiind inversa functiei xⁿ doar ca se iau restrictii inversabile.Pentru n impar xⁿ e inversabila pe toata multimea numerelor reale pentru n par se ia restrictie pe [0,inf]->[0,inf] care e bijectie .De aceea radicali sunt supusi anumitor restrictii in special cei de ordin par ,in cazul n=1 functia putere e functia identica si inversa nu necesita studiu, sa ii zicem cazul trivial.Din punct de vedere istoric nu cunosc cine a impus notatia pentru radical(chiar ar fi interesant daca am afla) dar este cunoscut faptul ca de pe vremea grecilor in anticihitate se faceau calcule si de la ei numim azi radical de ordin 2 sau 3 radacina patrata sau cubica.Inversul lui n la inmultire este 1/n si practic radicalul este o forma de putere rationala.De aceea ecuatiile irationale termen mai des utilizat face referire la ecuatii in care necunoscuta se afla sub o putere rationala sau sub radicali.Studiul radicalilor este un capitol foarte important in matematica si ofera mai simplu primele exemple de numere irationale,notiunea de conjugata si altele.
Edit o eroare grava din partea mea corectata am specificat ca fiind ecuati rationale cele cu radicali dar ele se numesc irationale si am editat.Ecuatii rationale sunt ecuatii in care x apare in fractii.

[A.Mot-old]

Daca ne luam strict dupa definitia scolareasca romaneasca la nivel de liceu atunci asa este si deci acel radical ar trebui sa existe in asa fel incat 6-x²>1 si indicii sa fie numere naturale,dar eu am zis ca acel radical poate fi considerat si ca o functie exponentiala de tipul u(x)^v(x) unde u(x)=x si v(x)=(6-x²)^-1 unde x este egal sau mai mare ca zero..........
A se vedea: http://ro.wikipedia.org/wiki/Funcție_exponențială........
Daca citim cu atentie enuntul vedem clar ca se vorbeste de un domeniu de definitie si in acest caz cu atat mai mult se intelege ca acel radical este o functie si atunci care este graficul acelui radical?Nu vad de ce acel radical nu ar fi o functie exponentiala avand baza o functie pozitiva si exponentul o functie negativa..........De ce ar fi gresit sa gandim si asa???O functie nu poate avea decat un grafic pe domeniul maxim de definitie.......
O vreme 1 a fost numar prim si nu era gresit dar a venit unu' si a decretat ca 1 nu e numar prim.........Sa-l lasam pe Funeriu in pace cu pacatele lui si noi cu pacatele noastre..........
Interesant este ca englezii considera ca indicele radicalului poate fi si egal cu 1........

[sicmar]

Din punct de vedere istoric nu cunosc cine a impus notatia pentru radical(chiar ar fi interesant daca am afla).

Primul care a folosit semnul astăzi consacrat pentru radical a fost Christoff Rudolff, în 1526.  
Vezi şi Christoph Rudolff.

De impus nu cred să-l fi impus cineva. Pur şi simplu, după Christoff Rudolff, l-au folosit şi alţii până s-a impus de la sine. Pentru detalii se poate vedea o carte care se găseşte şi pe net, Florian Cajori, A History of Mathematical Notations; Vol.1; Notations in Elementary Mathematics. Un tabel sintetic pentru intoricul notaţiilor din matematică poate fi găsit în A.W. Goodman, The Pleasures of Math, Macmillan, 1965.

În rest, eram convins că ştii ce-i cu radicalii dar aveai scăpări din condei.

@A.Mot
Hai să nu încurcăm lucrurile. Una este domeniul (maxim) de definiţie al funcţiei radical indice i (şi presupunând cunoscut acest lucru n-am insistat aici asupra lui) şi alta este alta este valoarea indicelui i pentru care este definit radicalul.