Problema matrice

[nemo]

Se consideră matricile A B e Mn(C) astfel incat  ( A+B)^2=A^2+B^2 si (A+B)^4=A^4+B^4  .Sa se arate ca (AB)^2-On

eu m-am gandit sa folosesc  
( A+B)^2 si  (A+B)^4 si apoi ...nu am mai stiut

Edit Scientia: titlul trebuie să aibă relevanţă, înţeles, nu?. Am schimbat titlul din "11", în cel actual.

[Electron]

De ce ai dat numele "11" acestui topic?

e-

[zec]

 O obervatie destul de relevanta este faptul ca in demonstratie se foloseste proprietatea de structura de inel necomutativ si neintegru(contine divizori ai lui 0 adica sunt elemente diferite de cel nul care au produs nul) al matricelor.
Daca desfaci la calcule din (A+B)²=A²+B² vei obtine AB+BA=O_n sau AB=-BA (1)
A doua relatie ar fi de prferabil sa o scriem astfel [(A+B)²]²=(A²+B²)² de unde asemanator cu prima relatie obtinem :
A²B²=-B²A² (2)
Relatiile 1 si 2 ofera cu putina prelucrare concluzia ceruta.
Vom calcula (AB)² in 2 moduri .Avem (AB)²=ABAB=(-BA)(-BA)=BABA=-BBAA=-B²A² si in relatia 2 daca prelucrezi in prima obtii (AB)²=B²A² de unde adunand relatiile obtinem concluzia.