Problema de geometrie

[mercur]

Special pentru AMot!
Dacă tot ne dai probleme spre rezolvare, sper că nu te superi dacă primeşti şi tu una.

Fie ABCD paralelogram, în planul P, astfel încât AB paralelă cu DC si AD paralelă cu BC.
Fie un punct E, în planul P, astfel încât dreapta EC este perpendiculară pe BC în punctul C şi EA perpendiculară pe AB în punctul A.
Să se demonstreze că dreapta ED este perpendiculară pe diagonala AC a paralelogramului.


Rog pe unii dintre voi şi anume: zec, tavy, mircea_p, florin_, electron, precum şi alţii, să nu dea rezolvări sau indicaţii imediate!

[meteor]

Daca zici ca ABCD e paralelogram e inutil sa mai zici ca  AB paralela cu DC si AD paralela cu BC.

[mercur]

Daca zici ca ABCD e paralelogram e inutil sa mai zici ca  AB paralela cu DC si AD paralela cu BC.

Este util pentru a defini acel paralelogram; la fel de bine putea fi notat ACBD, sau DBAC, sau altfel. Notaţiile ordinii punctelor ABC sau D sunt acelea pe care le definim din ipoteză.

[mercur]

AMot, nimic, nimic?..., nici o idee?

[mercur]

E clar! A.Mot nu are nici o idee, aşa că poate interveni oricine la rezolvare.
Măcar aşa, de distracţie!

[Electron]

Mi se pare ca aceasta problema a mai fost tratata pe forum. O prima indicatie ar fi deci sa o cautati intre problemele deja existente.

e-

[meteor]

.... sau altfel spus: Daca ung CAB=a si ung BAC=b, atunci ung AEC=a+b adica ung AED=a si DEC=b....

[Electron]

Daca ung CAB=a si ung BAC=b, atunci [...]

Atunci a = b .


e-

[meteor]

inloc de ung BAC am vrut sa spun ung BCA, greseala mecanica.

[A.Mot-old]

Pentru "mercur"!

Pana la 10 seara m-a preocupat problema cu oglinda lui "Electron" discutand cu profesorul de fizica vecinul meu din bloc........Fara sa creada careva ca ma scuz totusi aseara pe la 10 am inceput sa caut o rezolvare considerand patrulatere inscriptibile si etc............cand de fapt problema era sa prelungesc pe AD si pe CD in triunghiul EAC si sa observa ca exista doua inaltimi care impreuna cu dreapta care contine pe ED se intalnesc in punctul D........
In triunghiul EAC segmentele de dreapta AD si CD fac parte din inaltimile acestui triungi si deci si segmentul de dreapta ED face parte din inaltimea corespunzatoare..........In concluzie ED este perpendicular pe diagonala AC.Pana nu am facut un desn corect cu compasul si rigla nu am reusit sa vad rezolvarea...........Azi noapte m-am culcat pe la miezul noptii si am adormit tarziu si dimineata am fost obosit......acum cu mintea limpede am vazut clar pe desenul facut la ora 13 dupa ce am mancat si m-am odihnit am vazut la ora 16 foarte clar pe desen rezolvarea.
Multumesc mult "mercur" pentru ca ma soliciti desi rezistenta mea este scazuta totusi placerea de a invata si a cunoaste ma revigoreaza.............Mii de multumiri!Sincer iti spun si sa stii ca problemele pe care le postez eu nu toate imi apartin dar vreau sa vad cum e corect sa rationam caci trebuie sa recunosc ca sunt si probleme de prin carti care au enunturi incomplete si chiar cu raspunsuri gresite asa cum bine spune si "Electron".........
Acum rezolva te rog si problemele cerute de mine.........

Cu stima!

A.Mot

[mercur]

Foarte bine, A.Mot. Eşti printre puţinii care şi-au dat seama că punctul D este ortocentru în triunghiul EAC. Majoritatea cad în capcana figurii şi încearcă să o vadă ca şi cum ar fi în spaţiu (ceea ce este greşit), după care se apucă să facă tot felul de calcule de unghiuri. Trebuie să recunoşti că problema în sine este totuşi frumoasă, iar rezolvarea ei este pe cât de simplă, pe atât de elegantă. Dacă tu personal ai rezolvat-o ai toată stima mea!

[meteor]

 mie mi se pare o problema de clasa a IX, si nu e cine stie ce...
se poate tot atit de frumos de demonstrat numai pe baza de unghiuri:
Fie notam unghiu CAB=a si unghiu ABC=b. ATUNCI ung ABC=180-(a+b); ung DBA=a;ung CAD=b; ung EAD=90-(a+b);ung DCE=90-(a+b); Presupunem ca intradevar ED e perpendiculara pe AC. Atunci ung AOD (o e punct de intersect a dreptei ED cu AC) e 90-b; ung CDO=90-a;ung CDE=90+a;ung ADE=90+b;ung AEC=180-((90-a)+(90-b))=a+b. Calculam ung OEC si unghiu AOE. Daca suma acestor unghiuri e a+b atunci intradevar e corect enuntu problemei deci problema e demonstrata. Ung DEC=180-((90+a)+(90+b))=b; ung AOE=180-((90-(a+b)+(90+b))=a. unghiu AEC intradevar e a+b, problema e demonstrata.

[A.Mot-old]

Foarte bine, A.Mot. Eşti printre puţinii care şi-au dat seama că punctul D este ortocentru în triunghiul EAC. Majoritatea cad în capcana figurii şi încearcă să o vadă ca şi cum ar fi în spaţiu (ceea ce este greşit), după care se apucă să facă tot felul de calcule de unghiuri. Trebuie să recunoşti că problema în sine este totuşi frumoasă, iar rezolvarea ei este pe cât de simplă, pe atât de elegantă. Dacă tu personal ai rezolvat-o ai toată stima mea!

Este foarte frumoasa si intr-adevar initial cautam altfel rezolvarea dar de loc nu am fost tentat sa vad desenul in spatiu ci in plan si asa cum am spus cautam sa vad unghiuri in diverse patrulatere inscriptibile.........cand totul era asa de simplu..........Multumesc foarte mult!Astept sa mai postezi probleme de matematica de orice fel caci in liceu si la facultate prea putina matematica se facea pe vremea mea.........Pe mine nu ma supara nimic decat faptul cand gresesc rationamentele;vorba lui Socrate:"Eu stiu ca nu stiu nimic,si nici macar asta nu stiu".Inteleg greu si de aceea pun multe intrebari de multe ori........Bine ar fi ca sa putem ajuta efectiv pe toti invatandu-i cum sa invete.......

Cu deosebita stima,

A.Mot

[A.Mot-old]

mie mi se pare o problema de clasa a IX, si nu e cine stie ce...
se poate tot atit de frumos de demonstrat numai pe baza de unghiuri:
Fie notam unghiu CAB=a si unghiu ABC=b. ATUNCI ung ABC=180-(a+b); ung DBA=a;ung CAD=b; ung EAD=90-(a+b);ung DCE=90-(a+b); Presupunem ca intradevar ED e perpendiculara pe AC. Atunci ung AOD (o e punct de intersect a dreptei ED cu AC) e 90-b; ung CDO=90-a;ung CDE=90+a;ung ADE=90+b;ung AEC=180-((90-a)+(90-b))=a+b. Calculam ung OEC si unghiu AOE. Daca suma acestor unghiuri e a+b atunci intradevar e corect enuntu problemei deci problema e demonstrata. Ung DEC=180-((90+a)+(90+b))=b; ung AOE=180-((90-(a+b)+(90+b))=a. unghiu AEC intradevar e a+b, problema e demonstrata.

Am lucrat aseara la aceasta problema de la 10 pana la miezul noptii de n-am putut dormi decat cu ideea de a gasi relatii intre unghiuri de m-a luat durerea de cap de care am scapat abia dupa ce am vazut azi la ora 16 cat de simpla e rezolvarea.........

[Electron]

se poate tot atit de frumos de demonstrat numai pe baza de unghiuri:

Demonstratia ta nu e frumoasa deloc, in principal pentru ca ea contine erori.

AOE=180-((90-(a+b)+(90+b))=a.

Asta e cea mai evidenta eroare. Adica tu trebuie sa demonstrezi, cu notatiile tale, ca masura unghiului AOE este 90 grade, iar tu obtii ca e egal cu un unghi care se vede pe desen ca nu e drep.

Revizuieste-ti rezolvarea si posteaza inca o data cand o poti scrie corect.

e-