Problema cu functii

[Higgs]

Salut! am dat peste o problema interesanta cu functii: Iata enuntul: "Sa se determine f:R->R care nu sunt identifc nule si indeplinesc conditiaK f(x)*f(y)=f(x-y) oricare x si y apartinand lui R". Enuntul este copiat mot a mot. Nu am mai vazut asa ceva niciodata. Ma poate ajuta cineva sa rezolv problema, va rog?

[zec]

Acestea sunt numite ecuatii functionale.
In problema data daca inlocuiesti y=x obtii ca f²(x)=f(0).
Pentru x=0 obtii ca f²(0)=f(0).De unde obtii ca f(0)=0 sau 1.Daca f(0)=0 obtii ca f este functia nula care nu convine si pentru f(0)=1 obtiii ca f(x)=1 din relatia initiala.

[Higgs]

Multumesc mult! Explicatia a fost destul de clara, dar am doua nelamuriri. Prima:

Daca f(0)=0 obtii ca f este functia nula care nu convine

De ce nu convine?

...f(0)=1 obtiii ca f(x)=1 din relatia initiala.

Relatia initiala fiind f(x)*f(y)=f(x-y)?

[zec]

Pentru ca cere functii care nu sunt identic nule.

[puriu]

 O functie care are mereu valoarea 1. De exemplu f(x) = a*x/a*x = 1, f(y) = a*y/a*y = 1, etc. Nu se anuleaza niciodata.

[Electron]

O functie care are mereu valoarea 1. De exemplu f(x) = a*x/a*x = 1, f(y) = a*y/a*y = 1, etc. Nu se anuleaza niciodata.

Functia ta nu e corect definita pe R.

e-

[Higgs]

Pentru ca cere functii care nu sunt identic nule.

Am inteles perfect. M-am prins in sfarsit. Multumesc.

O functie care are mereu valoarea 1. De exemplu f(x) = a*x/a*x = 1, f(y) = a*y/a*y = 1, etc. Nu se anuleaza niciodata.

E ceva ciudat aici.

O functie care are mereu valoarea 1. De exemplu f(x) = a*x/a*x = 1, f(y) = a*y/a*y = 1, etc. Nu se anuleaza niciodata.
Functia ta nu e corect definita pe R.

e-

Ce vrei sa spui?

[zec]

sa fiu corect problema nu am rezolvato complet.
din f²(x)=1 rezulta f(x)=1 sau -1.Astfel cum f(0)=1 functia poate avea valori pe anumite multimi egale cu -1.Dar care ar fi aceea multime?
Fie A o submultime pe care ar avea f valorile de -1 atunci din ipoteza daca x,y distincte apartin lui A rezulta ca x-y nu apartine lui A.
Se pune intrebarea exista vreo submultime din  R cu proprietatile:
-[tex]x,y \in A[/tex] distincte implica [tex]x - y \notin A[/tex]
-[tex]x\in A,y\notin A[/tex]implica [tex]x-y\in A[/tex]
-[tex]0\notin A[/tex]
Aceste 3 proprietati se deduc din relatia initiala data in ipoteza si din faptul ca f(0)=1.La prima vedere nu pare a exista o astfel de multime dar trebuie obtinuta contradictie.
Daca A e finita din a doua proprietate obtinem contradictie.Deci A ar trebui sa fie infinita.Dar si complementul lui A va fi o multima infinita.
Nu poate contine interval din cauza proprietati 1 deci A este o multime rara(notiune topologica din analiza matematica).
Si in fine ajungem la concluzia ca A este o multime numarabila.
momentan cam atata .

[Electron]

O functie care are mereu valoarea 1. De exemplu f(x) = a*x/a*x = 1, f(y) = a*y/a*y = 1, etc. Nu se anuleaza niciodata.
Functia ta nu e corect definita pe R.

e-

Ce vrei sa spui?

Vreau sa spun ca functia lui puriu nu e corect definita pe R. A se vedea cum se defineste corect o functie pe un domeniu dat.


e-