Pb functii cls X

[justakid]

(f compus cu f) de x = x+1. Demonstrati ca f:R->R e bijectiva. Nu am idee cum sa incep..

[zec]

Demonstratie standard:
Se pleaca de la definitie
Injectivitate.Daca din f(x)=f(y) rezulta x=y atunci f injectiva ,fie f(x)=f(y) atunci f(f(x))=f(f(y) de unde x+1=y+1 si deci x=y .Astfel am aratat injectivitatea
Surjectivitatea .Daca orice y din R exista x astfel incat f(x)=y spunem ca f e surjectiva..Fie y arbitrar ales in R atunci in relatia initiala daca introducem y-1 obtinem f(f(y-1))=y si putem considera x=f(y-1) care exista .Astfel am aratat si surjectia.
Demonstratie mai putin standard:Fie f:A->A o functie
Vom arata ca f neinjectiva implica fof tot neinjectiva .
Deci f neinjenctiva inseamna ca exista x₁ si x₂ diferite astfel incat f(x₁)=f(x₂) care duce imediat la f(f(x₁))=f(f(x₂)) ceea ce arata neinjectivitatea lui fof.
vom arata ca si f nesurjectiva implica fof tot nesurjectiva.
Deci f nesurjectiva inseamna ca exista y din A pentru care nu exista x₁ astfel incat f(x₁)=y.Sa presupunem prin absurd ca ar exista x astfel incat (fof)(x)=y atunci am avea f(f(x))=y de unde obtinem ca exista x₁=f(x) si contrazice presupunerea facuta fata de inexistenta lui x₁.
Generalizare daca fof=g unde f,g:A->A atunci au loc urmatoarele:
a)g injectiva atunci f injectiva
b)g surjectiva atunci f surjectiva
c)g bijectiva atunci f bijectiva
Dem.Se face prin absurd tinand cont de de ce am aratat mai devreme

[justakid]

Multumesc frumos