O ecuatie trigonometrica

[A.Mot-old]

Sa se rezolve ecuatia cosⁿx-sinⁿx=1 unde n este un numar natural oarecare.

[zec]

nu e chiar simpla  aceasta ecuatie,dar nici foarte grea.Ecuatia e suficient sa o rezolvam in [0,2PI].Problema se simplifica major in unele cazuri .Daca n par atunci sinⁿ(x)>0 si rezulta 1=cosⁿ(x)-sinⁿ(x)<=cosⁿ(x) de unde rezulta ca doar cazul in care avem  cosx=1 sau -1  si sinx e nul avem solutie,deoarece in acest caz  cosⁿ(x) are valoare maxima pe 1.
Cazul n impar necesita ceva mai multa discutie si in special cand sinus e negativ si cosinus pozitiv adica x se afla in cadranul 4
.Situatia in care x e in cadranul 3 se poate majora cu sinⁿ(x) in acest caz .
x in cadranul 2 va da expresia in x negativa si astfel nu avem solutii aici.
x in cadranul 1 se trateaza la fel ca n par.
Acum sa discutam cazul x in cadranul 4 si n impar.Aici facem o smecherie scriem 1=cos²(x)+sin²(x) si ecuatia devine cosⁿ(x)-cos²(x)=sin²(x)+sinⁿ(x) si se arata usor ca in stanga avem valori negative si in dreapta pozitive ,astfel ca in acest caz rezulta solutii doar la capete.
Edit:Problema e practic rezolvata ,doar ca rezolvarea ei completa si in detaliu necesita ceva scriere pe care omit sa o pun ca nu e chiar atat de relevanta.Cazul n=1 nu respecta ce am scris la ultima discutie dar e similara cu faptul ca in acest caz e invers ce e in stanga e pozitiv si dreapta e negativ.

[meteor]

cazu cind n=0, cum rezolvam?! 0 e numar par sau impar 

[zec]

cazu cind n=0, cum rezolvam?! 0 e numar par sau impar  

Cazul n=0 mi-a scapat dar nu avem nici o ecuatie in acest caz.0 e numar par.

[meteor]

 , am vazut eu ca ceva nu e normal acolo. Despre cum s-a determinat si daca e corect paritatea lui 0- tac.

[meteor]

Mai propun si eu o "metoda" (dealtfel imediat mi-a venit ideea cind am vazut enuntu asa sa o rezolv) foarte greoae (nis nu am dus-o pina la capat  ) si cunoscuta decind lumea de prin licee.
  stim celebra egalitate: cosx*cosx+sinx*sinx=1; de unde- cosx=sqrt(1-sinx*sinx). Ca sa nu ne incilcim notam cosx=y.

cazul n=1. Dupa calcule ajungem: 2y=0 sau -y+1=0, gasim pe y.
cazul n=2. Dupa calcule ajungem: y*y-1=0.
cazul n=3. Dupa calcule ajungem: -sqrt(y)=(1^3-y^3)/(1^2-y^2); se mai reduc termenii din partea dreapta; apoi ridicam ambele parti la patrat (ca sa scapam de radical), si dupa calcule gasim solutiile.
cazul n=4. Dupa calcule ajungem:y^4+y^2-1=0. Acest tip de ecuatii se rezolva usor (era o metoda prin scoli, am uitat cum se numea, inlocuim y^2 cu z, spre exemplu).
cazul n=5. Iar apare un radical ca la cazul n=3 (intradevar paritatea joaca un rol deosebit aici, explic de ce cind n e impar tot timpul in exprimarea lui  sinx  prin cosx, ramine unul la puterea 1, ceea ce este sqrt(1-sinx*sinx).  Mai pe scurt ajungem la:sqrt(1-y*y)=(1-cosx^5)/((1^5-y^5)^2).( Iaca mia venit ideea cum ajungem la termenul general pentru n impar, si ca se poate de redus numitorul cu numaratorul).....
cazul n=6. Ajungem la:y^6-[(1-y^2)]^3=1 Aici apare o ecuatie de gradul 6 pina ce nustiu cum sa o rezolv 

pentru n=2*k,k>=1 vom avea:y^2k-[(1-y^2)^2k-2]=1, Rezolvatile cine vrea, sai mai gaseasca solutia generala, mia mii lene  .

[tavy]

Mai propun si eu o "metoda" (dealtfel imediat mi-a venit ideea cind am vazut enuntu asa sa o rezolv) foarte greoae (nis nu am dus-o pina la capat  ) si cunoscuta decind lumea de prin licee.
  stim celebra egalitate: cosx*cosx+sinx*sinx=1; de unde- cosx=sqrt(1-sinx*sinx).

Atenție!
Din [tex]\cos^2{x}+\sin^2{x}=1[/tex] nu rezultă că [tex]\cos{x}=\sqrt{1-\sin^2{x}}[/tex] ci [tex]\cos{x}=\pm\sqrt{1-\sin^2{x}}[/tex].

[meteor]

mda, o greseluta ce am scapato cu vederea (dar importanta).
Pai sa luam insemna ca 2 cazuri globale, odata cind + si odata cind - ?!

[A.Mot-old]

Care sunt toate solutiile in functie de cum este numarul natural n?Exista cumva si solutii in multimea numerelor complexe?

[zec]

Care sunt toate solutiile in functie de cum este numarul natural n?Exista cumva si solutii in multimea numerelor complexe?

Solutiile se afla usor si se rezuma la solutii ale ecuatiilor elementare din trigronometrie si anume cosx=1 sau cosx=-1 daca n e par ,dupa cum am si prezentat mai sus.
Despre solutii complexe nu discutam,functiile sinus si cosinus sunt definite pe multimea numerelor reale.Totusi ca un plus de informatie exista si posibilitatea de a defini sinus si cosinus pe numere complexe dar ea se face sub forma de serie(o suma infinita) care nu este  tocmai usor de prelucrat.

[A.Mot-old]

Care sunt toate solutiile in functie de cum este numarul natural n?Exista cumva si solutii in multimea numerelor complexe?

Solutiile se afla usor si se rezuma la solutii ale ecuatiilor elementare din trigronometrie si anume cosx=1 sau cosx=-1 daca n e par ,dupa cum am si prezentat mai sus.
Despre solutii complexe nu discutam,functiile sinus si cosinus sunt definite pe multimea numerelor reale.Totusi ca un plus de informatie exista si posibilitatea de a defini sinus si cosinus pe numere complexe dar ea se face sub forma de serie(o suma infinita) care nu este  tocmai usor de prelucrat.

In enunt nu se specifica in ce multime sa se gaseasca solutiile asa ca eu cred ca sunt si solutii de forma numerelor complexe........Spun asta deoarece unii zic ca trebuie specificat multimea in care se vrea a se gasi solutiile....Nu eu sunt autorul problemei......am luat-o dintr-o carte.Cred ca se poate rezolva considerand x=a+bi si deci avem de a face cu sinhx si coshx............

[zec]

Nu trebuie sa imi aduci aminte de ultima ta gaselnita,aici ai apelat la functii reale si din aceasta cauza nu am mai stat sa intreb ce solutii cauti.
sinh si cosh sunt cu totul altceva ,sunt notatiile ptr. functiile hiperbolice care au cateva proprietati asemanatoare celor trigronometrice dar nu sunt acelasi lucru.
Daca vrei sa calculezi sin din un numar complex z atunci calculeaza suma seriei :
z-z³/3!+z⁵/5!-.....
Serie care e obtinuta initial din seria Taylor pentru functia sinx si e extinsa la numere complexe dupa ce se demonstreaza in prealabil cu teoria de analiza complexa ca aceasta serie converge si ptr numere complexe.
Deci personal nu cunosc cat face sin(i) sau alta valoare complexa.In fapt aceste lucruri au contat mai putin in ideea matematica.
O observatie totusi se impune si anume aceasta extindere a functiei sinus la numere complexe numai respecta ideea de imagine in [-1,1],din cate stiu ea va avea imagine in discul de raza 1 adica z din C cu prop. |z|<=1.(dar nu sunt sigur 100%).Teoria functiilor analitice ,functii care se scriu ca o serie de puteri si sunt  derivabile au scos la lumina mai concret notiuni importante din analiza complexa legat de calcul integral etc.

[A.Mot-old]

Nu trebuie sa imi aduci aminte de ultima ta gaselnita,aici ai apelat la functii reale si din aceasta cauza nu am mai stat sa intreb ce solutii cauti.
sinh si cosh sunt cu totul altceva ,sunt notatiile ptr. functiile hiperbolice care au cateva proprietati asemanatoare celor trigronometrice dar nu sunt acelasi lucru.
Daca vrei sa calculezi sin din un numar complex z atunci calculeaza suma seriei :
z-z³/3!+z⁵/5!-.....
Serie care e obtinuta initial din seria Taylor pentru functia sinx si e extinsa la numere complexe dupa ce se demonstreaza in prealabil cu teoria de analiza complexa ca aceasta serie converge si ptr numere complexe.
Deci personal nu cunosc cat face sin(i) sau alta valoare complexa.In fapt aceste lucruri au contat mai putin in ideea matematica.
O observatie totusi se impune si anume aceasta extindere a functiei sinus la numere complexe numai respecta ideea de imagine in [-1,1],din cate stiu ea va avea imagine in discul de raza 1 adica z din C cu prop. |z|<=1.(dar nu sunt sigur 100%).Teoria functiilor analitice ,functii care se scriu ca o serie de puteri si sunt  derivabile au scos la lumina mai concret notiuni importante din analiza complexa legat de calcul integral etc.

Indiferent ce fel de numar este z atunci sinz=z-z³/3!+z⁵/5!-....
Eu iti spun ca ecuatia are si solutii de forma x=a+bi (pentru anumite valori ale numarului natural n) unde a si b sunt numere reale iar i este numarul imaginar.Cum rezolvi tu ecuatia in cazul n=3?In cartea in care am gasit aceasta problema enuntul este cel dat in prima postare la acest subiect si deci aceasta ecuatie poate avea si solutii in numere complexe.....in carte raspunsurile sunt date numai in functie de numarul pi sau zero dar eu zic ca aceasta ecuatie are si solutii in numere complexe cu partea imaginara nenula.
In cazul in care consideram solutiile ca fiind functii reale care sunt solutiile?Te rog sa le scrii clar asa cum rezulta in functie de cum este numarul natural n.

[zec]

n par n>o [tex]x\in {k\pi|k\in Z[/tex]
n impar [tex]x\in{2k\pi|k\in Z \cup 3\pi/2+2k\pi|k \in Z[/tex]
Astea sunt solutiile.
Tu zici ca are solutii in numere complexe ,eu zic ca nu are solutii in numere complexe.
Sa zicem ca cosz=a+bi atunci sinz se afla din relatia sinz=[tex] \pm \sqrt {1 - {{(a + bi)}^2}}=\pm \sqrt {{b^2} - {a^2} + 1 - 2abi} [/tex] Mai departe chinuiete si tu si daca gasesti vreo solutie sa imi zici.
Edit.Solutiile alea sunt date in multime dar nu pot sa editez acoladele in tex.

[Electron]

Sa zicem ca cosz=a+bi atunci sinz se afla din relatia sinz=[tex] \pm \sqrt {1 - {{(a + bi)}^2}}} [/tex]

Nu ai uitat cumva un "cos" in formula de mai sus?

e-