O discuție interesantă despre nedeterminări

[AlexandruLazar]

Am citit azi pe reddit o idee interesantă . Discuția era legată de nedeterminarea [tex]0^0[/tex], problemă care de regulă merge spre discuții sterile (hai să nu le spunem idioate ) despre sensul filosofic al lui 0^0 și cum 0^0 ar converge desigur la ideea personală despre Dumnezeu al celui care postează, confundând un argument filosofic cu unul subiectiv.

Totuși, asta are niște argumente nefilosofice, motiv pentru care mi-a atras atenția. Discuția completă este aici. O să dau quote la comentariul care era efectiv interesant:

0^0 = 1 isn't really very questionable any more.
Despite the fact that the power function is discontinuous at (0,0), there are a lot of good reasons that 0^0 should be 1 regardless.
For natural numbers n and m, we can actually define n^m as the number of functions from a set of size m to a set of size n. This gives 0^0 = 1 because there is exactly one function from the empty set to itself (the identity function, which also happens to be required if we want the category of sets to be a category).
As for the extension to the real numbers, well, while it may be seen as unfortunate that the function is discontinuous at (0,0), it actually is pretty close to achieving continuity in the case of being defined as 1: the limit as (x,y) -> (0,0) of xy along any differentiable path not tangent to the y axis will be 1. This means that if you're working with numerical approximations to numbers (e.g. floating point) and rounding error causes x and y to become 0 in some limiting process, x^y = 1 is the correct result with probability 1.
Also, consider that most power series expansion formulas like
exp(x) = sum over k >= 0 of x^k / k!
fail for x = 0 if 0^0 isn't 1. (Note that this one also fails if 0! isn't 1.)
Instead, you'd have to awkwardly separate off the first term, just to be able to handle the x = 0 case correctly:
exp(x) = 1 + sum over k >= 1 of x^k / k!
It's important to note as well that the case of a real number (or complex number) being raised to a natural number or integer power is far, far more common than the case with general real or complex exponents. Continuity isn't really a concern in this case.

Discuția era propriu-zis în jurul unor probleme de programare, dar cel puțin prima idee mi se pare foarte elegantă, iar ultima mi se pare și ea relativ convingătoare (în ideea că, în fond, și 0! = 1).

Ce părere aveți despre asta?

[Electron]

Parerea mea este ca trebuie facuta o distinctie clara intre "nedeterminarea 0^0" si operatia cu numerelele reale 0^0.

In cazul nedeterminarii, cel putin unul din acei "zero" din operatie nu este exact numarul real zero, ci o valoare foarte mica ce poate sa tinda eventual la zero. Ca atare, in functie de comportamentul acelei valori (sau mai bine zis comportamentul limitei) in jurul lui zero, rezultatele ce se obtin pot sa fie ... interesante.

Cand vorbim de operatia cu numerele reale zero, atunci e doar o problema de definitie. Asa cum prin definitie 0! = 1, asa se poate decide foarte simplu ca si 0^0 = 1.

As lua ca alt exemplu cazul nedeterminarii "1^infinit", care este mult mai "problematic". Daca e nedeterminare, atunci in functie de valorile din jurul lui 1 despre care vorbim, operatia (sau mai degraba limita) poate sa aiba rezultate diferite (de aceea e nedeterminare). Daca e operatia de inmultire a numarului real 1 cu el insusi de o infinitate de ori, aceasta se poate defini fara probleme ca producand rezultatul 1 si cu asta basta.

Nu e nevoie de discutii filozofice sau de argumente complicate.


e-

[AlexandruLazar]

Bleah, abia acum am văzut că am mai și postat în secțiunea greșită -- până la urmă câte secțiuni de matematică sunt pe forum ?

Cand vorbim de operatia cu numerele reale zero, atunci e doar o problema de definitie. Asa cum prin definitie 0! = 1, asa se poate decide foarte simplu ca si 0^0 = 1.

Corect -- pe de altă parte, mi se pare interesant de studiat ideea "din spatele" definiției. Prin definiție s-ar putea decide foarte simplu că 0^0 = 2, 3, 4 sau orice alt număr natural, dar fiecare astfel de definiție ascunde niște proprietăți subtile (și elegante) care nu sunt imediat vizibile. Exemplul cu 0! mi se pare destul de elocvent -- în principiu nu cred că ar fi vreo obiecție matematică considerabilă la a considera factorialul nedefinit în 0, dar dezvoltarea în serie de puteri ar fi considerabil mai grea.

Partea pe care o găsesc neplăcută în convenția 0^0 = 1 este că "strică" monotonia funcției putere (parcă așa-i zicea?), în sensul că [tex]0^0 > 0^1[/tex]. De asemenea, îi încurcă pe cei care încearcă să implementeze IEEE754