Matrice

[nemo]

Fie A o matrice patrata de ordin n, cu elemente numere
complexe ¸si A* matricea sa adjuncta. Demonstrati ca daca exista
un numar natural m>=1 astfel incat (A*)^m = 0n, atunci (A*)^2 = 0n.

[zec]

Problema asta e una frumoasa dar si dificila.Sincer nici nu m-am chinuit cu ea in mod serios si ca idee demonstratia ar trebui sa tina cont de proprietatile adjunctei.
Ar trebui folosit urmatoarele rezultate.
-din cauza ca exista un m pentru care adjuncta la puterea aceea devine matrice nula asta implica detA*=0
-avem relatia AA*=A*A=det(A)In si det(A) e nul din cauza det(AA*)=det(A)det(A*)=0 si relatia devine AA*=A*A=On
De aici nu am mai gasit continuarea dar am sa incerc sa o fac asta in masura in care am timp.

[zec]

Am sa completez dar nu sa si demonstrez afirmatia.Totusi am o mica nedumerire si cred ca afirmatia nu e valabila doar ca e nevoie de un contraexemplu,lucru care cere ceva calcul.
Pentru a veni cu informatii suplimentare e necesar sa aduc in discutie cateva elemente de matematica superioara si anume notiunea de polinom minimal,caracteristic si teorema lui Hamilton-Cayley.
Polinom minimal asociat unei matrice este polinomul monic de grad minim pentru care matricea respectiva ii este radacina.Monic=coeficientul termenului de grad maxim e 1.
Fie A o matrice din M_n(C) si notam cu P_A=det(XI_n-A) numit polinom caracteristic asociat matricei A,acest polinom are gradul n .
Teorema lui Hamilton -Cayley afirma ca A este radacina a polinomului caracteristic P_A.
Deci daca exista m astfel incat A^m=On asta inseamna ca A e radacina a lui X^m ,dar polinomul minimal divide orice polinom care admite radacina inclusiv polinomul caracteristic care poate fi cel de grad maxim.Deci avem P_A=Xⁿ si asta inseamna ca Aⁿ=On(asta are loc cu certitudine).Daca m<n atunci polinomul minimal are grad pana in gradul lui m dar daca e mai mare sau egal atunci polinomul minimal are grad pana valoarea lui n.
Faptul ca e o matrice adjuncta nu stiu cat ajuta (cred ca se poate construi pentru orice matrice B o matrice A astfel incat A*=B,nu e 100% dar cred ca se poate).
Cam asta e tot si in functie de timp incerc sa vad daca pot construi un contraexemplu.

[sicmar]

Faptul ca e o matrice adjuncta nu stiu cat ajuta (cred ca se poate construi pentru orice matrice B o matrice A astfel incat A*=B,nu e 100% dar cred ca se poate).
Cam asta e tot si in functie de timp incerc sa vad daca pot construi un contraexemplu.

a). Faptul că avem de-a face cu adjuncta unei matrice este esenţial.
În general, pentru o matrice oarecare B, din faptul că [tex]B^m=0_n[/tex] nu rezultă că [tex]B^2=0_n[/tex] aşa cum se poate verifica direct pentru matricea [tex]B=\left|\begin{array}{rcl}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{array}\right|[/tex] pentru care [tex]B^2\ne0_3[/tex] şi [tex]B^3=0_3[/tex].

b). În general, pentru o matrice oarecare B nu este obligatoriu să existe o matrice A pentru care [tex]A^*=B[/tex]. Existenţa unei astfel de matrice este obligatorie dacă matricea B este inversabilă (det(B)[tex]\ne0[/tex]).

Pentru matricea B din exemplul de mai sus se verifică uşor că nu există nici o matrice A a.î. [tex]A^*=B[/tex]. (Presupunând prin absurd că există o astfel de matrice A, din relaţia [tex]A(A*)=0_3[/tex] (dedusă de zec) după calcule elementare urmează că în matricea A toate elementele de pe coloanele 1 şi 2 sunt nule şi, de aici, urmează că toţi minorii de rang 2 sunt nuli şi, în sfârşit, [tex]A^*=0_3[/tex], ceea ce contrazice ipoteza de pornire.)

*

Nu am rezolvare la nivel elementar. Rezolvarea pe care am găsit-o foloseşte unele rezultate avansate din algebră liniară şi teoria matricelor. Nu sunt deloc sigur că nu trag cu tunul după muşte.

Schiţa rezolvării este cam asta:

1. (rezultat elementar) Dacă rangul unei matrice de ordinul n este cel mult n-2 atunci adjuncta acesteia este matricea nulă.
Se obţine imediat din definiţiile rangului unei matrice şi ale adjunctei unei matrice, ţinând seama că toţi minorii de ordinul n-1 sunt nuli.

2. Polinomul caracteristic pentru o matrice B de ordinul n, nilpotentă, este [tex]X^n[/tex]. Acesta este un rezultat clasic. (Vezi  aici.) Asupra demonstraţiei nu insist (deşi în argumentarea făcută de zec apare o eroare).

3. Forma canonică Jordan pentru o matrice nilpotenta are elementele de pe diagonala principală nule.
Se deduce imediat din definiţia formei canonice Jordan şi din faptul că toate valorile proprii (rădăcinile polinomului caracteristic) sunt 0.
Pentru orice matrice B există matricele P şi J, din care P este inversabilă iar J este formată din blocuri Jordan, şi [tex]B=P^{-1}JP[/tex].
Vezi aici, aici şi aici.

4. Dacă matricea B este adjuncta unei matrici A (adică, există A a.î. A^*=B) şi J este forma canonică Jordan a matricei B, cu [tex]B=P^{-1}JP[/tex], atunci există o matrice L astfel ca matricea J este adjuncta matricii L (adică L^*=J).
Adjuncta matricei [tex]L=PAP^{-1}[/tex] este matricea J.  Rezultă din calcule elementare că [tex]L^*=(PAP^{-1})^*=(P^{-1})^*A^*P^*=(1/det P)PA^*det P P^{-1}=PBP^{-1}=P(P^{-1}JP)P^{-1}=J[/tex].

5. Dacă matricea nilpotentă J (având forma canonică Jordan) este adjuncta matricei L, atunci J are cel mult un bloc Jordan 2x2 şi nu are blocuri Jordan mai mari (exprimare echivalentă: toate blocurile Jordan sunt 1x1 cu excepţia, eventual, a unui singur bloc care poate fi 2x2).
(Abia aici intervine condiţia  ca matricea nilpotentă să fie transpusa unei matrici.)

Se presupune prin absurd că în matricea J există două elemente nenule, [tex]a_{i, i+1}[/tex] şi [tex]a_{j, j+1}[/tex]. Atunci, din relaţia L*J=0_n (găsită de zec), urmează că în matricea L coloanele i şi j au toate elementele nule, deci rangul matricei L este cel mult n-2. După aceasta, ţinând seama de punctul 1 de mai sus, urmează că matricea J trebuie să fie nulă, ceea ce contrazice ipoteza. Rezultă astfel că există cel mult un bloc Jordan 2x2.
Regăsim aici raţionamentul de la pct. b). din partea introductivă, dar pe caz mai general. Matricea B, din exemplul de acolo are un bloc 3x3 deci nu poate fi adjuncta unei matrice. Privind retrospectiv, exemplul dat este cel mai simplu posibil: matrice de ordin minim posibil, 3; formă Jordan pentru matrice nilpotentă; unica formă Jordan pentru matrice nilpotentă ce nu poate fi adjuncta unei matrice; şi el nu este găsit "prin încercări".

6. Dacă o matrice J, nilpotentă, în forma canonică Jordan are cel mult un bloc 2x2 iar restul blocurilor sunt 1x1, atunci [tex]J^2=0_n[/tex].
Rezultat imediat.

7. Şi cu asta, observând că din J²=0_n rezultă şi B²=0_n, unde [tex]B=P^{-1}JP[/tex], s-a ajuns la final.

[zec]

Super Sicmar,felicitari pentru solutie.
Sa fiu sincer nu mi-a permis timpul sa continui dar am realizat ca e necesar sa mergem la forme Jordan pentru rezolvarea problemei.Pe alta parte apreciez putin ce ai facut dar credema ca nici 1% din cine citeste nu prea intelege ce ai facut.Eu caut sa ma exprim la nivelul lor de intelegere si ce ai facut tu e mai mult pentru persoane ca mine.

[sicmar]

Soluţia dată este la nivel de student care a pus mana si-a citit ceva mai multă algebră liniară decat se face la un curs de algebră la facultatea de matematică. Ori, din cititorii forumului ăştia sunt mult sub 1% aşa că ... ai fost generos când ai zis că înţeleg 1% din cititori.

Pentru restul, linkurile date sunt în măsură să-i introducă în obiectul problemei. Dacă ar fi cine să le urmeze.    Sunt convins că nimeni nu va merge pe urma lor. 

[AlexandruLazar]

Eu unul urmăresc topicul (și de fapt cam tot ce se întâmplă în secțiunea asta), dar particip mai puțin pentru că nu e domeniul meu. În cazul de față, de exemplu, înțeleg schița demonstrației și acum că mă uit la ea, aș putea să fac fiecare dintre pași dar, din lipsă de exercițiu, ar fi trebuit să mă gândesc mult și bine până să ajung la ea.