Matrice inversabila

[nemo]

Sa se  arate ca daca A,B e M2(R) sunt inversabile,atunci produsul AB este o matrice inversabila,dar ,in general,A+B      nu este inversabila.

De unde sa pornesc ?
Eu stiu ca o matrice este inversabila daca determinantul este diferit de zero

[zec]

 Exista o teorema importanta legata de determinantul unui produs de matrici patratice de acelasi ordin.Determinantului unui produs de matrici patratice de acelasi ordin e egal cu produsul determinantilor matricilor.Pe scurt adica:
det(AB)=det(A)det(B).
Pentru cazul matricilor de ordin 2 incearca sa o demonstrezi .
Pentru cazul A+B e suficient un contraexemplu.Daca nu gasesti am sa iti arat mai tarziu.

[sicmar]

Din existenţa lui A^-1 şi B^-1 a.î. AA^-1=A^-1A=I₂= BB^-1=B^-1B rezultă că matricea B^-1A^-1 este inversa matricei AB deoarece:
(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AI₂A^-1=AA^-1=I₂
etc.

Pentru sumă dai un exemplu trivial. A=I₂ şi B obţinut din A prin interschimbarea lui 0 cu 1. Evident, det (A+B) =0.