Matrice

[Flavius]

Se considera multimea formata din toate matricele cu 2 linii si 2  coloane cu proprietatea ca elementele fiecarei matrice din multimea M formeaza multimea {1,2,3,4}

a)
Sa se arate ca C e M ,atunci det(C)#0
b)Sa se arate ca daca X e M ,atunci -10<=det(X)<=10

c)Sa se arate ca B e M ,atunci B^-1 nu   apartine lui M

[zec]

a) Daca consideri a,b,c si d elementele matrici,atunci det(C)=ad-bc iara {a,b,c,d}={1,2,3,4} deci 3 poate sa divida doar unul din produse dar nu poate divide det(C),deci det(C) este diferit de 0.
b)Valoare minima este data de ad minim si bc  maxim astfel ca pentru ad minim alegem a si d cele mai mici valori si vor ramane ptr b si c cele mai mari valori care ne confirma ca e cea mai mare valoare.Deci ad=2 si bc=12 si det(C)=-10 ptr minim.Analog se face si la maxim.
c)Deoarece unul din elemente este 1 ,la calcului inversei vei avea in matrice elementul 1/d sau -1/d unde d e determinantul,iara daca prin absurd am presupune ca apartine lui M atunci rezulta ca d=1 sau -1 deoarece d este numar intreg si 1/d sau -1/d nu poate fi intreg decat daca este egal cu 1 valoare care este singura acceptata de presupunerea prin absurd.
Se remarca relativ usor ca nu putem avea o matrice din M(1 e numar impar si deci trebuie ca det. sa fie numar impar etc) care sa aiba determinatul egal cu 1 sau -1 si deci concluzionam ca presupunerea facuta este falsa.