Matrice

[Flavius]

Sa notam cu M multimea tuturor matricilor de tipul (m,n) in care toate elementele sunt numerele +1 sau -1 si astfel produsul numerelor de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana sa fie +1.Sa se calculeze numarul elementelor multimii M.

Nu am inteles problema acesta .Poate ma ajuta cineva?

[Electron]

Ce anume nu ai inteles din problema?

e-

[zec]

Trebuie sa afli numarul matricelor cu proprietatea data.O mica observatie,avem cel putin o matrice,ceea care contine toate elementele egale cu 1.Problema nu pare deloc usoara,dar daca  din matricea cu elementele egale cu 1 aduci modificari unui element schimband cu -1 vei fi obligat sa adaugi un alt -1 pe linia si coloana respectiva.Deci numarul de elemente de -1 trebuie sa fie in numar par pe fiecare linie si coloana.Raspunsul la problema ta este 2^(m-1)(n-1) si specific acest raspuns nu e o solutie si nu e dedus doar din ce am explicat.L-am oferit in ideea sa cauti tu o solutie.Ideea si de unde cunosc solutia e datorata unei probleme mai generale si anume:
Fie (G,+) un grup abelian finit cu r elemente si fie 2 elemente din acest grup fixat a si b.Pentru m,n numere naturale notam cu M_m,n(G) multimea matricelor cu m linii si n coloane cu elemente din grupul G,iar cu M(a,b) submultimea din M_m,n(G) cu proprietatea ca pe fiecare linie suma elementelor este a si pe coloane suma elementelor este b.
Sa se arate ca:a) (M_m,n(G),+) este grup abelian avand r^mn elemente
b)Daca ma<>mb atunci M(a,b) e multimea vida
c)Daca ma=mb atunci M(a,b) are 2^(m-1)(n-1).
Problema ta e echivalenta cu G=Z₂ a=b=0 prin corespondenta 1 se duce in 0 si -1 in 1 unde 0 si 1 sunt elementele din Z₂,se remarca conditia de compatibilitate din generalizarea data.