Matematica distractiva: orice triunghi este echilateral - unde e greseala ?

[morpheus]

Mi-am amintit de o problema de geometrie tare haioasa cu care m-a incuiat un prieten mai mare pe cand eram in liceu, asa ca m-am decis sa o impartasesc cu cei care citesc pe aici spre propagare...

Ideea e ca prietenul asta al meu a venit la un moment dat sa imi dovedeasca cum ca orice triunghi (oarecare deci) e echilateral
si, pentru cateva minute, aproape ca l-am crezut.

"Demonstratia" mea va avea la baza figura atasata in format jpg, care ilustreaza un triunghi oarecare ABC, pentru care am trasat bisectoarea unghiului A si mediatoarea laturii BC, care se intersecteaza in punctul O.
Am mai figurat si punctul D, aflat la mijlocul lui [BC], dar si punctele E si F, la intersectia perpendicularelor duse din O pe [AB], respectiv [AC].

Si acum sa purcedem la demonstratie:

1. Triunghiurile OEB si OFC sunt congruente, deoarece sunt dreptunghice si au cate o cateta (OE, resp. OF) si ipotenuzele (OB , resp. OC) congruente. De ce sunt congruente, cred ca e evident pentru oricine stie ca bisectoarea e locul geometric al punctelor egal departate de laturile unui unghi, respectiv ca punctele de pe mediatoarea unui segment sunt egal departate de capetele acestuia...

Din (1) rezulta ca [BE] este congruent cu [FC].

2. Triunghiurile AEO si AFO sunt congruente, deoarece sunt dreptunghice si au ipotenuza [AO] comuna, respectiv catetele [OE], resp. [OF] congruente (chestia cu bisectoarea - log geometric al punctelor egal departate de laturile unui unghi fiind explicatia ptr. congruenta acestor catete).

Din (2) rezulta ca  [AE] e congruent cu [AF].

Din (1)+(2) rezulta in mod clar ca [AB] este congruent cu [AC], deci triunghiul oarecare cu care am plecat la drum e unul isoscel.

Rasuciti-l cum doriti, repetati rationamentul, si mai obtineti inca o congruenta de 2 laturi, de unde rezulta ca triunghiul nostru e echilateral.


Normal ca va intrebati unde e greseala in toata demonstratia asta pompoasa?

Cand o sa aveti raspunsul sa il scrieti aici si, eventual, sa va testati si propriii profesori de matematica.

Majoritatea vor da din colt in colt, va asigur !!!

[mircea_p]

Se pare ca ai tras putin de desen. "Jumatatile"  unghiului A nu sant egale. Daca le faci egale, punctul O va fi in afara triunghiului. Cel putin asa mi se pare, dupa figura.
Intr-un triunghi isoscel punctul O va fi chiar pe latura BC. S-ar putea ca in nici un caz sa nu fie in interior.

Corectie: Dupa cum bine a spus electron mai jos, punctul O nu e nicaieri in cazul triunghiului isoscel deoarece cele doua linii nu se intersecteaza.

Nota: Nu stiu daca acum e permis sa sa modificam mesaje dupa ce a postat altcineva. In vechea formula nu prea era o problema datorita timpului limita.

[Electron]

"Demonstratia" mea va avea la baza figura atasata in format jpg, care ilustreaza un triunghi oarecare ABC, pentru care am trasat bisectoarea unghiului A si mediatoarea laturii BC, care se intersecteaza in punctul O.

Figura este gresita. Se poate demonstra faptul ca punctul O se afla in afara triunghiului si nu in interiorul sau, daca [AB] e diferit de [AC]. (Daca [AB] = [AC] atunci bisectoarea unghiului A si mediatoarea lui [BC] sunt una si aceeasi dreapta, deci intersectia lor nu este un punct).

Normal ca va intrebati unde e greseala in toata demonstratia asta pompoasa?

Greseala e in figura "ilustrativa".

e-

[morpheus]

Da băi, ma prinserăţi f. repede.

Trebuie să vin cu lucruri mai serioase

[Electron]

Corectie: [...], punctul O nu e nicaieri in cazul triunghiului isoscel deoarece cele doua linii nu se intersecteaza.

Corectie la corectie: cele doua linii nu s-ar intersecta doar daca intersectia lor ar fi vida. In acest caz intersectia este o dreapta. (O spun de dragul rigurozitatii, sper sa nu-mi fie luata in nume de rau ).

e-

[Quantum]

Pe aceeasi nota si eu pot demonstra ca 1 = 2 (bineintels doar la copii mici  )
a^2-a^2=a^2-a^2

la termenul din stanga extragem factor comun a => a(a-a)
pt. termenul din dreapta stim ca (x^2-y^2)=(x-y)(x+y) => (a-a)(a+a)

a(a-a)=(a-a)(a+a) | simplificam cu (a-a)
a=a+a
a=2a | simplificam cu a
1=2

[morpheus]

Pe aceeasi nota si eu pot demonstra ca 1 = 2 (bineintels doar la copii mici  )

nu mi-o lua in nume de rau, dar parca prima e pentru copii ceva mai mari decat asta propusa de tine  

[Quantum]

nu mi-o lua in nume de rau, dar parca prima e pentru copii ceva mai mari decat asta propusa de tine  

Absolut de acord, doar mi-am amintint de chestia asta, probabil era defapt altfel (nu chiar asa simplist).

[mircea_p]

Corectie: [...], punctul O nu e nicaieri in cazul triunghiului isoscel deoarece cele doua linii nu se intersecteaza.

Corectie la corectie: cele doua linii nu s-ar intersecta doar daca intersectia lor ar fi vida. In acest caz intersectia este o dreapta. (O spun de dragul rigurozitatii, sper sa nu-mi fie luata in nume de rau ).

e-

Corect, din nou. Sau riguros, matematic.
Dar "fizic" as zice ca mai degraba degraba se suprapun decat se intersecteaza. De aia am zis ca nu se interesecteaza.
Eu nu ti-o iau in nume de rau in nici un caz (nici fizic nici matematic).

[zec]

E bine si de explicat de ce punctul de intersectie dintre mediatoare si bisectoare este in afara triunghiului.Teorema bisectoarei afirma ca bisectoarea imparte latura opusa in raport egal cu cel format de laturile corspunzatoare a triunghiului cu segmentele respective.Concret BD/CD=AB/AC de aici conchidem ca la latura mai mare se va opune segment mai mare ,respectiv celei mici latura mai mica astfel ca perpendiculara dusa din mijloc adica mediatoarea va fi situat in afara triunghiului format de bisectoare cu segmentul mai mic si punctul de intersectie cu bisectoarea e in semiplanul al doilea format de BC.

[morpheus]

...ba chiar ma gandeam ca "demonstratia" din primul post ar putea fi folosita pentru a arata, prin reducere la absurd, ca bisectoarea si mediatoarea se pot intersecta numai in afara triunghiului, daca acesta este oarecare...

...ceva de genul:

"Sa se demonstreze ca intr-un triunghi oarecare ABC bisectoarea unghiului A si mediatoarea laturii BC se intersecteaza intotdeauna in exteriorul triunghiului ABC."

Corect ?

[Electron]

Desigur, se poate folosi tehnica demonstratiei prin reducere la absurd.

EDIT: completare: de fapt "demonstratia" din primul post e un exemplu de aplicare gresita a acestei tehnici, adica in loc sa se respinga figura ca absurda, e luata ca "dovada" ca rezultatul absurd e de fapt corect.

e-

[cori_na]

Ciudata e ipoteza.
de unde sti ca OE=OF? sii OB=OC?