Inversul unui nr complex (z^-1)

[justakid]

Proprietate a inmultirii nr compelxe: elemente inversabile: orice nr complex nenul z are un invers notat z^-1 astfel incat z*z^-1=z^-1*z=1

Demonstratie

Sa determinam nr z1=a1+b1i cu proprietate ca pentru z2=a2+b2i are loc egalitatea z1*z2=1.

Din z1*z2=1 se obtine sistemul a1a2-b1b2=1, a1b2-a2b1=0 cu solutia a2=a1/a^2+b^2, b2=b1/b^2+a^2, numitorul diferit de 0.

Eu nu ma prind de unde se obtine sistemul...

Eu am facut asa

z1z2=a1a2+a1b2i+a2b1i=b1b2i^2=a1a2-b1b2+(a1b2+b1a2)i. Si aici ma blochez. M-ati putea ajuta va rog?

[mircea_p]

Ultima expresie obtinuta trebuie sa fie egala cu 1, nu?
Egalitatea a doua numere complexe implica egalitatea partilor reale (o ecuatie) si a partilor imaginare ( a doua ecuatie).
Poti scrie 1= 1 + 0 i ca sa fie mai clar.

[zec]

z^-1=1/z=1/(a+bi)=(a-bi)/(a²+b²)=a/(a²+b²)-ib/(a²+b²)
E mult mai simplu de vazut o amplificare cu o conjugata si iti rezulta forma inversei direct

[justakid]

Ahhhh! Si pt ca e egal cu 1 Rez=1 si Imz=0...inteleg acum.

Da, Zec, ai dreptate, dar nu facusem inca conjugatul. Adica trebuia sa demonstram asa. Si faza era ca nu ma prindeam de unde scot aia cu =1 si =0 si ma stresa. Trebuie sa mai lucrez.

Ms amandurora:)