Intrebare despre inegalitati...

[Athos]

Buna ziua! Ati putea va rog sa-mi explicati ce inseamna simetrie in inegalitati si omogenitate,sau ce inseamna sa omogenizezi(vorbind in termeni matematici)?Multumesc anticipat!

[zec]

 Simetria si omogenitatea fac referire la expresii de tip polinomial cu mai multe  necunoscute.
Simetria este atunci cand expresia nu isi schimba valoarea la permutari intre necunoscute.
Adica de ex fie P(x,y,z)=xy+xz+yz si remarcam ca P(x,y,z)=P(x,z,y)=P(y,x,z)=....
astfel aceasta expresie e simetrica.
Omogenitatea se refera la un polinom sau o expresie in mai multe necunoscute a carei termeni sunt de aceeasi grad.
Exemplu de polinom omogen de grad 2: x²+xy+y²
la termenul xy gradul e luat ca 1+1 de la x respectiv y.
Si in final si un exemplu de polinom omogen de grad 3 si simetric x³+y³+z³+xyz

[Athos]

Multumesc pt lamurire.Totusi,as mai intreba ceva .La ce ne ajuta in exercitii daca stim ca un polinom este omogen, sau poate nu ajuta?

[zec]

 Faptul ca e omogen ajuta.Un polinom omogen de grad k in n necunoscute se reduce la unul de grad k in n-1 necunoscute prin impartirea cu una din necunoscute la puterea k.
De ex [tex]x^2+xy+y^2[/tex] prin impartirea cu [tex]y^2[/tex](cu conditia evidenta y diferit de zero) devine [tex](x/y)^2+x/y+1[/tex] si notand [tex]x/y=t[/tex] devine cu o necunoscuta.
La exemplul de grad 3 [tex]x^3+y^3+z^3+xyz[/tex] prin impartirea cu [tex]z^3[/tex] devine:
[tex](x/z)^3+(y/z)^3+1+(x/z)(y/z)[/tex] care ar fi echivalent cu un polinom in u si v de forma:
[tex]u^3+v^3+uv+1[/tex].
De aceea ca o ecuatie ,inecuatie sa fie omogena trebuia ca sa fie de gen P(x,y,z,...) comparata cu 0,altfel numai este omogena.
Polinoamele simetrice se reduc conform teoremei fundamentale de descompunere a polinoamelor simetrice(se invata in facultate) la combinatie de polinoame simetrice principale,care sunt pentru n necunoscute acele n relatii ce apar si la relatiile lui Viete dintre radacini.
Astfel daca avem un polinom de grad k in necunoscute simetric si gradul mai mic decat numarul necunoscutelor,poate fi redus la un polinom in maxim k necunoscute.Totusi problemele intalnite sunt in general cu cele de grad 2 si maxim cel de grad 3 pe la relatii intre radacini.