Intrebare

[Athos]

Buna ziua sau buna seara! Am gasit o teorema si as vrea sa-mi spune-ti daca stiti cum se cheama: Daca xi>0 si x1+x2+x3+...+xn=k ,unde i=1,n si k=const. ,atunci produsul x1x2....xn este maxim cand x1=x2=...=xn=k/n.Nu ar si rau si o demonstratie ,si daca mi-ati spune daca mai sunt si alte teoreme asemanatoare .Multumesc anticipat!

[zec]

 Nu e chiar o teorema e mai degraba o proprietate de maxim.Din cate cunosc nu are un autor anume aceasta proprietate.
Demonstratia se bazeaza pe studiul produsului si cred ca inductie sau mai superior pe studiul de maxim cu ajutorul diferentialei si conditii initiale prin metoda Lagrange a multiplicatorilor.
Demonstratia clasica merge prin inductie cred.
Se rezolva problema a+b=constant ab maxim.Care se rezuma la aflarea maximului functiei :
a(k-a) unde k=a+b fixat.Se stie ca valoarea maxima e atinsa la coordonatele varfului sau se poate determina si cu derivate si se afla in a=k/2 etc.
Demonstram prin inductie sa admitem ca are loc proprietatea ptr orice k<=n si sa aratam ca are loc ptr n+1.Verificarea e imediata ptr k=1 si am aratat si k=2.
Atunci x1x2...xnxn+1 il fixam pe xn+1 si il notam cu y si atunci x1x2...xny e maxim cand x1x2..xn e maxim unde x1+x2+...xn=k-y deci maximul e realizat cand x1=x2=...=xn=(k-y)/n conform inductiei si maximul nostru va avea valoarea [tex]\frac{(k-y)^ny}{n^n}[/tex].
De aici trebuie sa arati ca aceasta functie in y atinge maximul in y=k/(n+1) cand y variaza in interval finit(0;k).Cu analiza matematica ar trebui sa iasa destul de usor mai ales cand sti si ce punct ai de studiat.

[Athos]

  Multumesc inca o data...acum stiu de ce sa ma apuc