Inegalitatealui Bernoulli.

[Higgs]

Buna seara! Astazi la scoala am discutat putin despre inegalitatea lui Bernoulli. Profesorul meu ne-a dat ca tema de gandire urmatoarea problema: Se considera urmatorul sir, cu formula generala: [tex]x_n= \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n [/tex]. Sa se demonstreze ca sirul este crescator. Eu nu am progresat foarte mult in rezolvarea acestei probleme. N-am reusit sa zic decat ca: daca sirul ese crescator, atunci:
[tex]
\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n< \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}
[/tex]. Acest lucru reiese din definitia sirurilor crescatoare. Insa mai departe nu stiu cum sa continui. Mentionez ca sunt clasa a IX-a. Avand in vedere ca domnul profesor ne-a propus aceasta problema, dupa ce ne-a prezentat inegalitatea lui Bernoulli, banuiesca ca, inseamna ca am deja un indiciu de rezolvare. Insa nu vad cum as putea sa continui de aici. Ma poate ajuta cineva? Multumesc anticipat!

[zec]

Intradevar inegalitatea lui Bernoulli se aplica bine ,singura conditie e sa folosesti inegalitatea pentru valorile convenabile.
Inegalitatea suna asa :[tex](1+x)^r \ge 1+rx[/tex] unde r e numar real pozitiv si x>-1.
Am folosit aceleasi notatii ca in prezentarea data din wikipedia.
Pentru [tex]x=\frac{1}{n+1}[/tex] si [tex]r=\frac{n+1}{n}[/tex] inegalitatea devine:
[tex](1+\frac{1}{n+1})^{\frac{n+1}{n}}\ge 1+\frac{n+1}{n}\frac{1}{n+1}[/tex] si dupa simplificare si ridicare la putarea n se obtine ceea ce trebuia aratat.
  De precizat ca inegalitatea lui Bernoulli e foarte tare in jurul valorilor mici apropiate de 1.

[Higgs]

Multumesc mult pentru ajutor! Am inteles demonstratia, dar as avea o intrebare. Cum ti-a venit ideea sa faci acele notatii convenabile, pentru a putea folosi inegalitatea lui Bernoulli? Ai mai rezolvat probleme asemanatoare? Multumesc anticipat!

[zec]

Multumesc mult pentru ajutor! Am inteles demonstratia, dar as avea o intrebare. Cum ti-a venit ideea sa faci acele notatii convenabile, pentru a putea folosi inegalitatea lui Bernoulli? Ai mai rezolvat probleme asemanatoare? Multumesc anticipat!

Evident ca am mai rezolvat.E greu sa ai idei de acest gen din prima,de obicei acele persoane cu idei de acest fel pot fi numite genii .Totusi o problema de acest gen nu e una extrem de dificila ,dar nici usoara.

[Higgs]

Am revazut rezolvarea, si am o mica obiectie totusi. Considerand ecuatia in forma in care ai scriso tu (cea de pe wikipedia) avem x numar rational si r numar intreg. Dar tu ai considerat ca r=(n+1)/n, adica r rational. Cum vine asta? Am facut eu cumva o eroare de rationament?

[zec]

Am revazut rezolvarea, si am o mica obiectie totusi. Considerand ecuatia in forma in care ai scriso tu (cea de pe wikipedia) avem x numar rational si r numar intreg. Dar tu ai considerat ca r=(n+1)/n, adica r rational. Cum vine asta? Am facut eu cumva o eroare de rationament?

Pai asta e faza...inegalitatea merge pentru orice numar real r ,doar ca demonstratia numai se face prin inductie la numere reale.Ea se face cu cunostintele de analiza matematica care se fac in clasa a 11-a.Deci inegalitatea propriu-zisa e ceea cu orice numar real care in fapt e o generalizare a celui cu n natural.Totusi se poate aborda si o demonstratie in care sa folosesti bernoulli clasica.
Ca sa folosesti bernoulli clasic prelucram convenabil astfel:
[tex](1+\frac{1}{n+1})^{n+1}>(1+\frac{1}{n})^n[/tex] in [tex]\frac{(\frac{n+2}{n+1})^n}{(\frac{n+1}{n})^n} >\frac{n+1}{n+2}[/tex] de unde [tex](\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1})^n>\frac{n+1}{n+2}[/tex] sau [tex](1+\frac{-1}{n^2+2n+1})^n>\frac{n+1}{n+2}[/tex].Dar bernoulli ne arata ca [tex](1+\frac{-1}{n^2+2n+1})^n>1-\frac{n}{n^2+2n+1}=\frac{n^2+n+1}{n^2+2n+1}>\frac{n+1}{n+2}[/tex] ,unde ultima parte a inegalitatii se arata prin calcul usor.

[Higgs]

Acum sunt de acord cu tine. Multumesc pentru ajutor!