Inegalitate3

[Athos]

Demonstrati urmatoarea inegalitate:
1/(x+y)^2+1/(y+z)^2+1/(z+x)^2>=9/(4(xy+yz+xz))

[zec]

Nu ar fi rau sa editezi in latex.Inegalitatea ,de fapt inegalitatile postate de tine sunt interesante dar si grele.Asa ca am sa ma uit pe ele ,pe aceasta m-am uitat putin si se pare ca solutia vine din combinatie de inegalitate a mediilor,deci lucram cu numere pozitive.
Inegalitatea arata asa :
[tex]\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\ge\frac{9}{4(xy+xz+yz)}[/tex]
Ca sa reduc putin aceasta inegalitate am apelat la o inegalitate cunoscuta:
[tex]a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc[/tex]
Si am obtinut urmatoarele:
[tex]\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\ge\frac{1}{(x+y)(x+z)}+\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(x+z)(y+z)}[/tex]
Dupa ce aduci la acelasi numitor in partea dreapta si considerand ca se cere pe valori pozitive,daca aratam ca [tex]8(x+y+z)(xy+xz+yz)\ge9(x+y)(x+z)(y+z)[/tex] am rezolvat problema.De aici am efectuat reducerile care apar si am obtinut:
[tex]6xyz\ge(x+y)(x+z)(y+z)[/tex].Si aici poc blocaj caci aceasta ultima relatie ne arata ca nu merge prin aceasta cale.Asa ca momentan am abandonat si nu am mai stat sa caut si alta cale de rezolvare.Am sa revin depinde de timp.

[Athos]

Am gasit pt cei interesati(daca sunt...)mai multe rezolvari....se pare ca a fost data la OIM  .Daca poate cineva sa gaseasca o metoda mai putin brutala de a o rezolva ,as fi ma mult decat incantat.
http://gbas2010.wordpress.com/2010/01/11/inequality-23iran-1996-tst/
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=378167

[zec]

Dupa ce am vz demonstratiile pot sa zic ca problema e una grea si din punctul de vedere al solutiei.