Inegalitate

[Athos]

Aratati ca (a^3/x^2)+(b^3/y^2)>=(a+b)^3/(x+y)^2.Sincer nici nu stiu cum sa incep sa o rezolv,sau sa o prelucrez ca sa pot folosi Cauchy-Swartz sau Titu Andreescu,sau poate trebuie cu altceva ?Multumesc antipicat!!

[zec]

 Conditiile pentru a,b,x,y trebuie sa apara.Nu cunosteam inegalitatea Titu Andreescu,dar acuma ca ai pomenit de ea am vazut despre ce e vorba.E interesanta dar nu foarte aplicabila.
Cel mai corect e sa desfaci calculul si sa scapi de numitori.
Adica sa rezolvi inegalitatea [tex]a^3y^2(x+y)^2+b^3x^2(x+y)^2\ge x^2y^2(a+b)^3[/tex].
Apar cateva reduceri si obtii[tex]a^3y^4+2a^3xy^3+b^3x^4+2b^3x^3y\ge 3a^2bx^2y^2+3ab^2x^2y^2[/tex] care e expresie omogena de grad 7 si imparti cu [tex]y^7[/tex](y ar trebui sa fie strict pozitiv sa nu avem discutii) si notam [tex]a/y=u,b/y=v,x/y=t[/tex] si devine:
[tex]u^3+2u^3t+v^3t^4+2v^3t^3\ge 3u^2vt^2+3uv^2t^2[/tex]
aplici inegalitatea mediilor grupand convenabil si rezulta:
[tex]u^3+v^3t^3+v^3t^3\ge 3uv^2t^2[/tex] respectiv
[tex]u^3t+u^3t+v^3t^4\ge 3u^2vt^2[/tex]
Adunand cele 2 inegalitati rezulta ce aveai de aratat.Atentie inegalitatea mediilor se aplica doar pe numere pozitive.
P.S. poate remarci si legatura cu postul tau in care te intrebai ce e omogen si daca ajuta.Eu zic ca ajuta,iara pe mine ma ajutat.Aceasta problema am rezolvato in timp ce vroiam sa iti prezint initial niste indicatii!!!,dar am considerat ca nu te va ajuta doar indicatiile!!!! asa ca am dat rezolvarea aproape total.

[Athos]

Multumesc frumos .. Da,am uiat sa specific ca a,b,x,y>0,scuze. Am lucrat exact ca tine ,pana in punctul in care ai impartit prin y la a 7a si m-am oprit .Foarte interesanta demonstratie,mi-a placut mai ales cand ai facut notatiile .Am pus in descriere si inegaliatea lui cauchy si titu andreescu gandindu-ma ca poate s-ar putea rezolva astfel.Oricum multumesc si am sa revin .