Inductie

[Higgs]

Salutare! Ma puteti ajuta, va rog, sa demonstrez urmatoarea inegalitate?

[tex]
2^{n - 1} (a^n + b^n ) \ge (a + b)^n
[/tex]

Banuiesc ca se poate demonstra prin inductie, insa eu n-am reusit. Nu vreau o rezolvare mura in gura, doar ca as vrea ca cineva sa imi arate toti pasii la aceasta inductie. Stiu sa aplic principiul inductiei dar pana acum nu m-am mai intalnit cu inegalitati de genul acesta. Va multumesc anticipat!

[Electron]

Stiu sa aplic principiul inductiei [...]

Cum se aplica principiul inductiei?

e-

[zec]

 Ti ar fi mai usor daca ai aplica inductie pe o forma mai convenabila.
Adica [tex]2^{n-1}\ge \frac{(a+b)^n}{a^n+b^n}[/tex].In acest fel iti creezi un avantaj.
Daca nu reusesti,macar arata unde te incurci si te ajut.

[Udar]

Ce fel de numere reale sunt numerele a si b?De exemplu pentru n=3,a=2 si b=-4 inegalitatea nu este valabila.

[zec]

Ce fel de numere reale sunt numerele a si b?De exemplu pentru n=3,a=2 si b=-4 inegalitatea nu este valabila.

Intradevar,inegalitatea nu functioneaza decat pentru numere pozitive.
Trebuie sa presupunem ca sunt numere reale pozitive pentru ca majoritatea care posteaza o problema o  fac de multe ori partial.
Astfel daca aveam probleme de semn indicatia mea ar fi eronata impartind cu o valoare negativa sau de ce nu chiar nula in anumite situatii,fara sa ma asigur de acest fapt.

[Higgs]

In primul rand va multumesc tuturor pentru raspunsuri.

[/quote]Cum se aplica principiul inductiei?[/quote]
O sa incerc sa nu ma lungesc prea mult.Rationamentul inductiv, este tipul de rationament logic prin care, din observatii particulare, derivam concluzii generale. In matematica, este foarte util cand avem de demnostrat propozitii, ce sunt valabile pentru toate numerele naturale. Pirncipiul este urmatorul: daca din adevarul propozitie p(k), rezulta adevarul propozitiei p(k+1), atunci propozitia este adevarata pentru toate numerele naturale. O analogie care pe mine m-a ajutat sa inteleg mai bine acest prinicpiu este urmatoarea: avem n piese de domino (pozitionate de-a lungul unei linii). Daca prima piesa cade, atunci si a doua va cadea. Daca a doua piesa cade atunci si a treia va cadea. Daca a n-1-a piesa cade, atunci cade si piesa n. Deci cu alte cuvinte, daca o piesa din rand cade, atunci vor cadea si celalte piese, care urmeaza dupa ea. Daca din caderea piesei P(K) rezulta caderea piesei P(k+1), atunci rezulta si caderea P(k+2), P(k+3)...P(n), unde 1<=k<=n. Sper ca explicatia mea a fost una corecta.

Ti ar fi mai usor daca ai aplica inductie pe o forma mai convenabila.In acest fel iti creezi un avantaj.
Daca nu reusesti,macar arata unde te incurci si te ajut.

Multumesc foarte mult pentru sfat! Eu zic ca am reusit inductia. Te-as ruga sa te uiti si tu peste demonstratia mea, si sa-mi spui daca ti se pare ok.

Mie mi se pare ok, avand in vedere ca am ajuns la o propozitie adevarata.

Ce fel de numere reale sunt numerele a si b?De exemplu pentru n=3,a=2 si b=-4 inegalitatea nu este valabila.

De unde am luat eu enuntul, nu se specifica. Insa dupa ce am realizat inductia, am putut trage o concluzie asumand faptul ca a si b sunt numerepozitive. Dat fiind contraexemplul dat de Udar, este clar ca numere a si b nu pot fii naturale. Va multumesc tuturor pentru ajutor! Astept sa ma corectati, daca am gresit pe undeva, deoarece am venit aici sa invat.

[Electron]

Pirncipiul este urmatorul: daca din adevarul propozitie p(k), rezulta adevarul propozitiei p(k+1), atunci propozitia este adevarata pentru toate numerele naturale.

Aici ai uitat un lucru esential. Daca nu verifici ca propozitia p(k) este adevrata pentru k cel mai mic (nu intotdeauna e 0 sau 1), atunci chiar daca demonstrezi ce ai spus tu, demonstratia prin inductie nu e completa si deci e gresita. Nu uita de acest "detaliu".

O analogie care pe mine m-a ajutat sa inteleg mai bine acest prinicpiu este urmatoarea: avem n piese de domino (pozitionate de-a lungul unei linii). Daca prima piesa cade, atunci si a doua va cadea. Daca a doua piesa cade atunci si a treia va cadea. Daca a n-1-a piesa cade, atunci cade si piesa n. Deci cu alte cuvinte, daca o piesa din rand cade, atunci vor cadea si celalte piese, care urmeaza dupa ea.

Tot in analogie: daca prima piesa nu cade, oricat de adevarat este ca prin caderea uneia cade si urmatoarea, asta nu inseamna ca vreuna va cadea "de la sine".

Daca din caderea piesei P(K) rezulta caderea piesei P(k+1), atunci rezulta si caderea P(k+2), P(k+3)...P(n), unde 1<=k<=n.

Atentie la limita inferioara (cea superioara nu are sens). Nu intotdeauna k incepe de la 1, poate incepe de la 0 sau de la orice numar finit.

Sper ca explicatia mea a fost una corecta.

Si eu sper ca observatiile mele sa te ajute.


e-

[Higgs]

Am inteles perfect acum. Scuzele mele. Inca invat cum sa fiu atent la formularile pe care le fac.

[Electron]

Scuzele mele.

Nu inteleg de ce iti ceri mereu scuze. Nu ai suparat pe nimeni, nu ai deranjat pe nimeni. Esti aici pentru a invata, iar a gresi nu este ceva de blamat in acest context. Retine ca si din greseli se invata. A insista in eroare, e cu totul altceva. Sper sa nu ajungi acolo.

Fii mai relaxat, aici nu esti la examen, nici contra cronometru.

e-

PS: scuze de off-topic.

PPS: te rog sa nu-ti ceri scuze pentru faptul ca iti ceri mereu scuze

[Higgs]

Am inteles. O sa iti urmez sfatul.

[zec]

Te ai complicat si nici nu am stat sa verific integral cat de bine ai facut,ca nu prea inteleg din poza foarte bine.
Am sa prezint o demonstratie completa.
O sa consider propozitia [tex]P(n):2^{n-1}\ge \frac{(a+b)^n}{a^n+b^n}[/tex].
Pasul 1 Verificarea
Iese imediat pentru n=1 avand chiar egalitate
Pasul 2 Demonstratia
Presupunem P(k) adevarat si aratam ca P(k+1) este adevarat.
[tex]P(k+1):2^k\ge \frac{(a+b)^{k+1}}{a^{k+1}+b^{k+1}}[/tex] astfel avem
[tex]2^k=2*2^{k-1}\ge 2\frac{(a+b)^k}{a^k+b^k}[/tex] Daca aratam ca :
[tex]2\frac{(a+b)^k}{a^k+b^k}\ge \frac{(a+b)^{k+1}}{a^{k+1}+b^{k+1}}[/tex] inductia e terminata.
Inegalitatea data dupa simplificare si usor transformata devine:
[tex]2(a^{k+1}+b^{k+1})\ge (a+b)(a^k+b^k)[/tex]Astfel ajungem la forma:
[tex]a^{k+1}+b^{k+1}\ge ab^k+ba^k[/tex] care devine
[tex](a^k-b^k)(a-b)\ge 0[/tex] inegalitate care se verifica usor ca fiind adevarata,deoarece avem semnul plus in acel produs indiferent daca a>b sau a<b.
q.e.d

[Udar]

Inegalitatea din acest topic este una din inegalitatile remarcabile fiind de fapt o particularizare a unei alte inegalitati remarcabile in care exista un numar de [tex]n[/tex] termeni reali pozitivi si numarul [tex]n[/tex] este un numar natural.Interesant ar fi sa se demonstreze inegalitatea din acest topic prin alta metoda decat cea a inductiei matematice.

[Higgs]

Inegalitatea din acest topic este una din inegalitatile remarcabile fiind de fapt o particularizare a unei alte inegalitati remarcabile in care exista un numar de  termeni reali pozitivi si numarul este un numar natural.Interesant ar fi sa se demonstreze inegalitatea din acest topic prin alta metoda decat cea a inductiei matematice.

Ai putea sa ne dai mai multe detalii, te rog? Suna interesant.