Grupuri

[foton01]

Salut!

Am dat peste o problema mai un pic mai grea si nu stiu cum sa procedez. Problema suna cam asa:
Fie (G,*) un grup. Fie [tex]C_a[/tex]={ x | a*x=x*a } oricare ar fi a din G. Stiind ca toate multimile de tipul [tex]C_a[/tex] au acelasi numar de elemente sa se demonstreze ca grupul este abelian.
Imi puteti da o idee?
Multumesc !

[Abel Cavaşi]

Încearcă să înmulţeşti întâi la stânga, apoi la dreapta cu x^-1. Vezi ce-ţi dă.

[Orakle]

Încearcă să înmulţeşti întâi la stânga, apoi la dreapta cu x^-1. Vezi ce-ţi dă.

Pe cine sa inmulteasca ?  Ia mai povesteste-ne un pic cum ai gandit-o !

Salut!

Am dat peste o problema mai un pic mai grea si nu stiu cum sa procedez. Problema suna cam asa:
Fie (G,*) un grup. Fie [tex]C_a[/tex]={ x | a*x=x*a } oricare ar fi a din G. Stiind ca toate multimile de tipul [tex]C_a[/tex] au acelasi numar de elemente sa se demonstreze ca grupul este abelian.
Imi puteti da o idee?
Multumesc !

Nu este suficient "cam asa" scrie exact enuntul.Din ce ai scris tu aici nu poti concluziona nimic si iese doar balamuc.
De exemplu:
Daca pentru orice a Ca are un singur element  se poate demonstra contrariul ( grupul nu este comutativ)
Daca Ca=1 inseamna ca elemtele din G comuta doar cu un singur element care este si elementul neutru al grupului.In concluzie elementele a din G sigur nu comuta intre ele.

[Abel Cavaşi]

Încearcă să înmulţeşti întâi la stânga, apoi la dreapta cu x^-1. Vezi ce-ţi dă.

Pe cine sa inmulteasca ?  Ia mai povesteste-ne un pic cum ai gandit-o !

N-am gândit-o, am zis şi eu aşa, la repezeală.

[zec]

Multimea [tex]C_a[/tex] se numeste centralizatorul lui a in G.Aceasta multime formeaza un subgrup si are cel putin un element acela fiind elementul neutru.Mai mult decat atata aceste subgrupuri sunt comutative.(se demonstreaza relativ usor ca e subgrup comutativ)
  Cum [tex]C_1=G[/tex] rezulta ca toate centralizatoarele sunt egale cu G si deci intersectia lor este G .Ceea ce inseamna ca G este comutativ.
Intersectia [tex]\bigcap\limits_{g \in G} {{C_g}}=Z(G)[/tex] si se numeste centrul lui G.Daca
[tex]Z(G)=G[/tex] atunci grupul e abelian.
Acuma o observatie faza cu acelasi numar de elemente suna "rau" daca e vorba de grupuri infinite si ea ar trebui sa fie numai in cazul de grupuri finite.