geometrie

[yuizaq]

Am vazut problema asta desenata pe un perete (graffiti) - probabil e pentru clasa a 8-a:

Fie un triunghi oarecare ABC. Cu fiecare din laturi, construim cate un triunghi echilateral in exteriorul triunghiului oarecare. Sa se demonstreze ca triunghiul format de centrele de greutate ale celor 3 triunghiuri echilaterale este un triunghi echilateral.

Am "rezolvat" problema folosind Autocad-ul (program de desenat pt cei ce nu stiu) si am observat experimental ca se verifica oricum ar arata triunghiul oarecare. In plus am vazut ca centrele de greutate ale celor 2 triunghiuri (ABC si tr. presupus echilateral nou format) corespund - asta ar fi un punct B al problemei.

multumesc anticipat celui care rezolva problema printr-o demonstratie matematica (ca ce am facut eu nu se numeste rezolvare ).

[zec]

Aceasta problema e una fara autor si foarte veche.
Ideea si felul de rezolvare a problemei este de a calcula distanta dintre 2 centre si a remarca o simetrie in valoarea ei ,astfel orice alta distanta dintre centre deducem ca se va calcula la fel si vom obtine acelasi lucru.
Metode pentru acest calcul pot fi :-cu ajutorul numerelor complexe ca aplicatie in geometrie
                                               -cu trigronometria.
Am sa revin cu o demonstratie trigronometrica mai tz.

[zec]

Am sa prezint demonstratia bazata pe elemente de trigronometrie aplicata.
Deci problema revine la calcularea distantei [tex]G_1G_2[/tex]
In triunghiul [tex]AG_1G_2[/tex]avem[tex]\angle G_1AG_2=\angle A+60[/tex] sau[tex]=360-(\angle A+60)[/tex] in cazul in care unghiul A+60>180 adica A>120.
Aplicam teorema cosinusului in acest triunghi si obtinem:
[tex]G_1G_2^2=AG_1^2+AG_2^2-2AG_1AG_2cos(\angle G_1AG_2[/tex]
Trecand la notatiile clasice si tinand cont ca intrun triunghi echilateral distanta de la varf la centru este [tex]\frac{l}{sqrt3}[/tex]obtinem
[tex]G_1G_2^2=\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{3}-\frac{2bc cos(A+60)}{3}[/tex](1)
Calculam [tex]cos(A+60)=cosA cos60-sinA sin60=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \frac{1}{2}-\frac{a}{2R}\frac{sqrt 3}{2}[/tex] introducand in relatia 1 si dupa calcule usoare obtinem:
[tex]G_1G_2^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}-\frac{abc sqrt 3}{6R}[/tex] si aceasta relatie se remarca ca fiind simetrica in a,b si c ceea ce arata ca la calculul celorlalte 2 distante va fi acelasi ca valoare.
In cazul in care A>120 cosinusul ia aceeasi valoare deoarece [tex]cos(2\pi-x)=cos(-x)=cosx[/tex]

[yuizaq]

multumesc mult pentru ajutor