Determinanti de ordin n

[Nisipeanu]

Folosind numai definita determiantilor de ordin n .Sa se calculeze urmatorii determinanti
0 0.........0 1
0 0 ......0 2 0
0 0 ......3 0 0
..................
n 0 ........0 0


eu chiar nu am inteles cu determinanti de ordin n ...m-am uitat peste cele 9 proprietati de la determinanti ,dar nu stiu ce sa aplic aici la exercitiul meu

[Nisipeanu]

Sa se calculeze determinantul de ordin n:
-1 a a ...........a
a -1 a............a
a a -1.............a
......................
a  a a.............-1

[Electron]

Care sunt cele 9 proprietati ale determinantilor? Scrie-le aici sa vedem ce putem aplica si ce nu in acest caz.

e-

[Nisipeanu]

Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse
Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci
determinantul matricii este nuL
Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem o
matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniţiale.

Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul.
Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt înmulţite cu un
număr αlfa  obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu alfa înmulţit cu determinantul matricii înmulţit cu determinantul matricii iniţiale.

Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporţionale, atunci
determinantul este nul.



Dacă o linie (o coloană) a unei matrici pătratice este o combinaţie liniară de celelalte
linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

Dacă la o linie (o coloană) a matricii
A
adunăm elementele altei linii (coloane)
înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea
A
.


Dacă linia
i
a unei matrici
A
este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal
cu suma a doi determinanţi corespunzători matricelor care au aceleaşi linii ca
A
, cu excepţia liniei
i
unde au câte unul din cei doi vectori.

[zec]

Proprietatile acelea intradevar sunt, dar cel mai important in calculul determinantilor de ordin>3 e dezvoltarea dupa o linie sau o coloana si trecerea la calcul de determinanti de un ordin mai mic cu 1.
De exemplu un det. de ordin 5 se reduce la calcul de det. de ordin 4 care la randul lor se reduce la calcul de det de ordin 3 si astia ii calculam prin regula triunghiului sau Sarrus.
Cu ajutorul proprietatilor se cauta reducerea calcului in dezvoltarea dupa o linie sau o coloana prin obtinerea a cat mai multor zerouri.