Demonstrația unei propoziții despre șiruri.

[Higgs]

Demonsrați că:

Sirul [tex] x_n \to x [/tex] dacă și numai dacă există[itex] M > 0 [/tex] astfel încât [tex]\forall\epsilon > 0[/tex] ,  [tex]\exists n_\epsilon\in \mathbb{N} [/tex] și [tex]n\geq n_\epsilon [/tex] să avem [tex] | x_n - x | < \epsilon M [/tex]

Prima implicație "=>" am demonstrat-o alegând M = 1. În cazul ăsta propoziția devine exact criteriul de convergență cu epsilon.

Am însă probleme în a demonstra "<=". Am încercat totuși ceva, dar nu mi-a ieșit criteriul de convergență cu epsilon.


Am ales [tex] \epsilon = \epsilon_1 = \frac{\epsilon}{M}[/tex] , și am obținut că:

[tex]\exists n_{\epsilon_1} \in \mathbb{N} [/tex] și [tex]n\geq n_{\epsilon_1} [/tex] avem [tex] | x_n - x | < \epsilon_1 M = \epsilon[/tex]

Deci am găsit un [tex] n_{\epsilon_1} [/tex] astfel încât..... [tex] | x_n - x | < \epsilon[/tex]. Dar ar fi trebuit să găsesc un rang care să depindă de epsilon, nu deepsilon1. Aici m-am blocat pentru că nu știu dacă pot afirma următorul lucru: am găsit  [tex] n_{\epsilon_1} [/tex] deci, înlocuind  , am găsit [tex] n_{\frac{\epsilon}{M}} [/tex], care depinde de epsilon și de M deci teorema este demonsrtată. Nu sunt însă convins de argument, sau dacă este unul valid.

Mă poate ajuta cineva, vă rog ?

[zec]

Demonsrați că:

Sirul [tex] x_n \to x [/tex] dacă și numai dacă există[tex] M > 0 [/tex] astfel încât [tex]\forall  \epsilon > 0[/tex] ,  [tex]\exists n_\epsilon  \in \mathbb{N} [/tex] și [tex]n\geq  n_\epsilon [/tex] să avem [tex] | x_n - x | < \epsilon M [/tex]

Prima implicație "=>" am demonstrat-o alegând M = 1. În cazul ăsta propoziția devine exact criteriul de convergență cu epsilon.

Am însă probleme în a demonstra "<=". Am încercat totuși ceva, dar nu mi-a ieșit criteriul de convergență cu epsilon.


Am ales [tex] \epsilon = \epsilon_1 = \frac{\epsilon}{M}[/tex] , și am obținut că:

[tex]\exists n_{\epsilon_1}  \in \mathbb{N} [/tex] și [tex]n\geq  n_{\epsilon_1} [/tex] avem [tex] | x_n - x | < \epsilon_1 M = \epsilon[/tex]

Deci am găsit un [tex] n_{\epsilon_1} [/tex] astfel încât..... [tex] | x_n - x | < \epsilon[/tex]. Dar ar fi trebuit să găsesc un rang care să depindă de epsilon, nu deepsilon1. Aici m-am blocat pentru că nu știu dacă pot afirma următorul lucru: am găsit  [tex] n_{\epsilon_1} [/tex] deci, înlocuind  , am găsit [tex] n_{\frac{\epsilon}{M}} [/tex], care depinde de epsilon și de M deci teorema este demonsrtată. Nu sunt însă convins de argument, sau dacă este unul valid.

Mă poate ajuta cineva, vă rog ?

am dat citat si am modificat ce ai scris tu sa vad latexul mai bine

[zec]

 Ceea ce cere sa demonstrezi e de fapt definitia convergentei unui sir in spatiu metric(spatiu metric e o multime in care avem notiunea de distanta dintre 2 puncte,la multimea numerelor reale e modulul din diferenta).Deci te lovesti de un lucru fundamental daca ceea ce trebuie sa arati e o teorema atunci defnitia convergentei care e?
Exista si o definitie pe spatiu topologic care e fundamentala.Un sir este convergent intr-un punct l daca pentru orice vecinatate a lui l toti termeni sirului se afla in ea exceptand un numar finit.Alegand vecinatatile simetrice se obtine definitia cu modul in spatii metrice.

[Higgs]

Ceea ce cere sa demonstrezi e de fapt definitia convergentei unui sir in spatiu metric(spatiu metric e o multime in care avem notiunea de distanta dintre 2 puncte,la multimea numerelor reale e modulul din diferenta).Deci te lovesti de un lucru fundamental daca ceea ce trebuie sa arati e o teorema atunci defnitia convergentei care e?
Exista si o definitie pe spatiu topologic care e fundamentala.Un sir este convergent intr-un punct l daca pentru orice vecinatate a lui l toti termeni sirului se afla in ea exceptand un numar finit.Alegand vecinatatile simetrice se obtine definitia cu modul in spatii metrice.

În primul rând mulțumesc pentru răspuns, și îmi cer scuze pentru calitatea lamentabilă a primei postări, am postat în fugă și nu am mai verificat. Am corectat, ca totul să fie ok.

În al doilea rând nu prea înțeleg ceea ce vrei să spui. . Uite, eu am găsit propoziția asta într-o culegere de mateamtică la aplicații pentru criteriul de convergență cu epsilon. Știu teorema de convergență cu epsilon, însă nu am putut demonstra chestia asta, pur și simplu...sunt conștient că este o consecință care reiese rapid din teorema de convergență cu epsilon, doar că eu nu am reușit să ajung la concluzie...Adică nu am reușit să ajung din a doua implicație, la faptul că șirul converge la x.

[zec]

Tu ai terminat demonstratia doar ca nu ai remarcat un lucru simplu.trebuia sa alegi un rank care sa depinde de epsilon si nu de epsilon 1,pai evident intrucat alegera lui epsilon 1 a fost facuta in functie de epsilon si depinde de el atunci si rankul depinde de epsilon.[tex]n_\epsilon=n_{\epsilon 1}[/tex]

[Higgs]

Tu ai terminat demonstratia doar ca nu ai remarcat un lucru simplu.trebuia sa alegi un rank care sa depinde de epsilon si nu de epsilon 1,pai evident intrucat alegera lui epsilon 1 a fost facuta in functie de epsilon si depinde de el atunci si rankul depinde de epsilon.[tex]n_\epsilon=n_{\epsilon 1}[/tex]

Wow, inca sunt uimit. Demonstrațiile astea specifice analizei mi-au dat puțină bătaie de cap. Acum că mă uit mai bine, găsind acel [tex] n_{\epsilon_1} [/tex] am găsit un rang începând cu care se respectă [tex] | x_n- x_0| < \epsilon [/tex]. Numai că treaba asta se întâmplă [tex] \forall \epsilon > 0 [/tex], pentru că pot alege acel  [tex] n_{\epsilon_1} [/tex] oricare ar fi epsilon. Adică pentru orice epsilon eu pot găsi un astfel de rang, deci șirul converge la x.

Ceea ce m-a derutat pe mine a fost:

1) faptul că eu eram obișnuit să scriu definiția ca : oricare [tex] \epsilon > 0 [/tex] .... există  [tex] n_{\epsilon} [/tex], iar eu găsisem că :  [tex] \epsilon > 0 [/tex] .... există  [tex] n_{\epsilon_1} . Adică devenisem dependent de o anumită notație și uitasem interpretarea "pe românește" a criteriului de convergență.

2) Inițial, nu vedeam că relația găsita de mine se întâmplă pentru orice epsilon. Pierdusem din vedere că acel epsilon_1 poate fi ales oricare ar fi epsilon, și că implicit realția demonsrtată se întâmplă pentru oricare epsilon.

Te rog, aș vrea  să îmi mai spui dacă am reușit să explic "pe românește" rezultatul obținut , adică dacă am explicat într-un mod acceptabil de ce propoziția este demonstrată.

[zec]

Da ai explicat pe romaneste:D

[Higgs]

Aș dori să revin puțin asupra problemei, dacă se poate. Am revizuit afirmația din întâmplare și mi se pare ceva dubios. Când alegem [tex] \epsilon_1 = \frac{\epsilon}{M} [/tex] , aici am o problemă. M nu este în funcție de [tex] \epsilon_1 [/tex] ? Adică pentru fiecare [tex] \epsilon [/tex] există un [tex] M [/tex] ? Deci și pentru [tex] \epsilon_1 [/tex] există un [tex] M_1 [/tex]. Alegerea lui epsilon în funcție de M  mi se pare puțin ciudată. Nu înțeleg de ce îmi pune atâtea probleme propoziția asta  .

După părerea mea, ar trebui să fie ceva de genul: [tex] \epsilon_1 = \frac{\epsilon}{M} [/tex]  și să avem ceva de genul:

[tex] |x_n - x| <= \epsilon_1M_1 = \frac{\epsilon}{M}M_1 [/tex]

[zec]

in a doua implicatie zice ca oricare ar fi epsilon,de aceea poti alege epsilon cum vrei tu.

[Higgs]

in a doua implicatie zice ca oricare ar fi epsilon,de aceea poti alege epsilon cum vrei tu.

Ok, dar M-ul nu îl pot lua cum vreau eu. Dacă iau epsilon1 = epsilon/M cum știu că "M-urile" sunt aceleași ? (Am început să mă simt prost că pun astfel de întrebări :"> )

[zec]

Ok sa repet si sa explic rationamentul.
Cum exista M atunci acest M devine fixat.Ca sa nu ai [tex]\epsilon M[/tex] si cum afrimatia precizeaza pentru orice epsilon atunci evident daca iei [tex]\epsilon_1=\epsilon/M[/tex] si introduci in relatie aproape ca ai definitia convergentei exceptia fiind acel [tex]\eta_\epsilon[/tex] dar cum ziceam el depinde acuma si de [tex]\epsilon_1[/tex] pentru ca luam pentru el acel [tex]\eta_\epsilon_1=\eta_{\epsilon/M}[/tex] .Deci acuma verifici definitia convergentei si deci ai terminat.

[Higgs]

Ok sa repet si sa explic rationamentul.
Cum exista M atunci acest M devine fixat.Ca sa nu ai [tex]\epsilon M[/tex] si cum afrimatia precizeaza pentru orice epsilon atunci evident daca iei [tex]\epsilon_1=\epsilon/M[/tex] si introduci in relatie aproape ca ai definitia convergentei exceptia fiind acel [tex]\eta_\epsilon[/tex] dar cum ziceam el depinde acuma si de [tex]\epsilon_1[/tex] pentru ca luam pentru el acel [tex]\eta_\epsilon_1=\eta_{\epsilon/M}[/tex] .Deci acuma verifici definitia convergentei si deci ai terminat.

Deci M este acelasi pentru fiecare epsilon?

[Higgs]

Ok, voi încerca să-mi exprim altfel nelămurirea. Pentru diferite valori ale lui epsilon găsesc diferite valori pentru M. Deci, de unde știu că pentru epsilon/M voi găsi valoarea M=M ? Cred că fac o eroare gravă de logică pe undeva dar chiar nu îmi dau seama unde..

[zec]

in enuntul problemei nu precizezi ca e pentru oricare M.Specifica  te rog e un M fixat sau e oricare M.In cazul care e fixat e cum am zis mai devreme in cazul care e oricare nu prea merge treaba.

[Higgs]

Ah, îmi cer scuze, am recitit acum enunțul și am văzut că este ceva în neregulă. Acum am modificat enunțul, pentru a coincide cu cel din manual:

Sirul [tex] x_n \to x [/tex] dacă și numai dacă există[tex] M > 0 [/tex] astfel încât [tex]\forall\epsilon > 0[/tex] ,  [tex]\exists n_\epsilon\in \mathbb{N} [/tex] și oricare [tex]n\geq n_\epsilon [/tex] , să avem [tex] | x_n - x | < \epsilon M [/tex]