centre de greutate coliniare

[Ayumi]

 Buna seara !
In manual am gasit urmatoarea problema:
Fie 2 triunghiuri ABC si A'B'C'.Punctele M apartine lui AA',N apartine lui BB' si P apartine lui CC' astfel incat MA = lambda * MA', NB = lambda * NB' si NC = lambda * NC'.Trebuie sa arat ca centrele de greutate ale triunghiurilor ABC si MNP sunt puncte coliniare.

Eu am scris vectorul de pozitie ale centrelor de greutate ale triunghirilor pe care le-am notat cu G,G',respectiv T.
Ca sa arat ca punctele G,G' si T sunt coliniare trebuie sa demonstrez ca vectorii GG' si G'T sunt coliniari.
GG' = rG' - rG si G'T = rT- rG'.
Cu ce ar trebui sa incep?

[zec]

Din pacate are o "buba" problema asta si anume formeaza M,N si P un triunghi mereu?
Raspunsul e simplu si se poate arata cu un contraexemplu .Consideram M,N si P situate pe o dreapta d prin punctele respective 3 drepte concurente sau paralele.Recomand concurente caci se apropie de geometria proiectiva.Fixez 3 puncte A,B,C corespunzatoare cu dreptele ce trec prin M,N resp P si construim A',B' si C' astfel incat sa aiba un raport constant.
Deci cazul in care M,N si P coliniare e un caz trivial iara centrul de greutate cam greu de construit prin definitia data ca intersectie a medianelor.In acest caz se poate considera mijlocul segmentului mai mare.

GG' = rG' - rG si G'T = rT- rG'.

Nu pricep de ce folositi r pentru punctul O de origine al axelor.Din cate stiu vectorul OG=1/3(OA+OB+OC) si specific aceasta relatie e una vectoriala.OA,OB si OC sunt vectori.
OM se poate afla in functie de OA si OA' datorita faptului ca A,M si A' sunt coliniari.Concret arata ca [tex]\overrightarrow {OM}=\frac{\lambda }{{1+\lambda }}\overrightarrow {OA'}+\frac{1}{{1 + \lambda }}\overrightarrow {OA}[/tex] .La fel calculezi si ptr ON,OP iara in final calculezi OT.Introduci in relatia data de tine sau incerci sa arati ca OT=xOG+yOG'
x+y=1 ceea ce semnifica G,G' si T coliniare.

[Ayumi]

Am scris asa:
OM = lambda * OA + (1-lambda)* OA'.
Analog,amm exprimat in acelasi fel si pe ON si pe OP,tinand cont de faptul ca acele puncte sunt coliniare.

Am insumat realtiile si le-am inmultit cu 3 obtinand :
OT = lamda * OG + (1-lambda) *OG',unde T este centrul de greutate al triunghiului MNP,G - ABC si G' - A'B'C'
Rezulta ca punctul T se afla pe GG',deci ceea ce trebuia demonstrat.
Este buna demonstratia mea?

[zec]

OM=xOA+yOA' ,daca x+y=1 atunci M,A si A' sunt coliniari .La felul cum e dat raportul, x si y dau valorile pe care le am scris eu.
Sa calculam:
M apartine pe segmentul AA' asta inseamna ca M e situat intre A si A' si cunoastem:
[tex]\frac{MA}{MA'}=\lambda[/tex] de aici rezulta prin prelucrari usoare [tex]\frac{MA'}{AA'}=\frac{1}{1+\lambda}[/tex] sa notam cu t acest raport.
Avem vectorial [tex]\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA}[/tex] si
[tex]\overrightarrow{MA'}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OM}[/tex] de unde rezulta relatia:[tex]\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OM}=t(\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA})[/tex] de aici rezulta OM=(1-t)OA'+tOA(Din pacate eu le am incurcat putin pe cele date de mine dar am sa editez o inversare in postul precedent).
Datorita faptului ca aceasta relatie nu depinde de alegerea punctului O ea se poate scrie si prescurtat M=(1-t)A'+tA si se poate extinde la conditia de coplanareitate a unui punct M cu un plan (ABC) ,care se poate scrie la fel de simplificat M=xA+yB+zC x+y+z=1, iar x,y si z se mai numesc coordonate baricentrice ale lui M in raport cu A,B si C.Punctul G satisface conditia de coplanareitate si are coordonatele x=y=z=1/3.
Edit:
Demonstratia e buna daca in loc de lambda pui alta variabila.Lambda e cea din ipoteza si OM nu verifica relatia aceea.Asta e si ideea demonstratiei,nu prea ne intereseaza ce valoare are lambda dar daca 3 puncte impart in acelasi raport 3 segmente atunci ele pastreaza constant acei x si y pentru care x+y=1.In fapt ei reprezinta un raport dar nu coincide cu cel dat din ipoteza.Aceasta constanta in rapoarte se reflecta in coliniaritatea altor puncte din cele 2 triunghiuri si nu neaparat doar centrele de greutate reflecta aceasta proprietate doar ca la ele se arata cel mai simplu.