Calcul integrala definita - sir (cls a XII-a)

[justakid]

Buna seara.

Sunt cls a 12-a si rezolvam exercitii cu integrale... acesta scrie ca este luat din variantele de bac din 2009 dar nu imi dau seama deloc cum sa fac, si nu este la raspunsuri.

Se considera sirul urmator: imagine.

Sa se calculeze I₂. Sa se arate ca I_n+2=1/n+1, n natural >0. Sa se calculeze limita cand n->infinit din nI_n.

Problema mea este la punctul c, cu limita, celelalte 2 mi-au iesit  Nu stiu cum sa incep la c. Orice sugestii sutn binevenite. Sau resurse de unde sa citesc... Manualul nu imi este de prea mult ajutor in acest caz.

La b am facut astfel:

I_n+2+I_n = imaginea a 2-a. Si vine int din x la n adica (x^n+1)/n+1 pe intervalul 1 0. Adica (1^n+1)/n+1-0.

Multumesc.

[zec]

 Vezi ca la variantele de bac mai vechi se gasesc si solutiile.
Ideea de rezolvare o reprezinta clestele.
Sirul [tex]I_n[/tex] se arata usor ca este descrescator,mai exact [tex]\frac{x^{n+1}}{x^2+1}\le\frac{x^n}{x^2+1}[/tex] unde [tex]x\in[0;1][/tex] De aici si tinand cont de relatia de recurenta obtii [tex]\frac{1}{n+1}=I_{n+2}+I_n\le2I_n[/tex] respectiv
[tex]\frac{1}{n-1}=I_{n-2}+I_n\ge2I_n[/tex] de unde rezulta
[tex]\frac{n}{2(n-1)}\le nI_n\le\frac{n}{2(n+1)}[/tex]
Trecand la limita obtii limita ca fiind 1/2.
Cateva observatii asupra problemei .Sirul [tex]nI_n[/tex] nu este monoton.Si din aceasta cauza incercarea de a demonstra convergenta e gresita pe criteriul lui Waierstrass .Se poate si cred ca e posibil sa se demonstreze pe considerente de teorie ca sirul are limita 1/2,limita care se remarca din relatia de recurenta dar devine extrem de complicat si greu de gasit acel [tex]\eta(\epsilon)[/tex].Astfel practic suntem limitati la aceasta problema si se pare ca aceasta e singura metoda.