algebra VII

[Magda Popa]

Buna ziua,
Va rog sa imi trimiteti o sugestie pentru rezolvarea urmatorului exercitiu:
Determianti valorile inrtegi ale lui n pentru care sqrt(n^2-2n+17) apartime lui N. Asemantor pentru sqrt(n^2-4n+13).

Multumesc!

[zec]

Probleme deloc usoare pentru clasa a VII.
Am sa prezint totusi o rezolvare la nivel mai superior care are ca idee ecuatia in numere intregi
x²+y²=z².Ecuatie asemanatoare teoremei lui pitagora de unde si numele de numere pitagoreice purtate de solutiile acestei ecuatii numita de asemenea ecuatie pitagoreica.
Solutiile acestei  ecuatii sunt de forma x=d(2uv);y=d(u²-v²);z=d(u²+v²).unde d,u,v din Z
Nu am sa arat cum se rezolva aceasta ecuatie,dar am sa ma folosesc de solutiia ei in rezolvarea problemei date.
Practic ca acel radical sa fie in N trebuie ca ce e sub radical sa fie patrat perfect adica :
n²-2n+17=k² de unde obtin (n-1)²+4²=k².Deci n-1,4 si k sunt numere pitagoreice.De unde deducem ca 4=d(2uv) sau 4=d(u²-v²).Din prima deducem urmatoarele solutii d=1;-1;2 sau -2 de unde vei avea uv=2,-2,1 sau -1 de unde obti valori clare pentru u si v.Iar daca 4=d(u²-v²) aici e mai complicat dar ar trebui sa remarci ca diferenta de patrate pare sau impare consecutive e mai mare decat 6 daca numerele contin numere mai mare ca 1.
O sa revin si cu o solutie mai de nivel inferior si o completare mai concreta a numerelor pitagoreice ce contin pe 4 putin mai tz.
Continuarea:
Deci dupa cateva calcule deducem ca doar 4²+0² si 4²+3² sunt patrate perfecte si deci n-1=0,3 sau -3 ofera solutii la prima problema.
Acuma o alta solutie mai inferioara sau sa zic asa mai de clasa a VII-a.
Pentru n intreg avem.
(n-1)²<n²-2n+17
Daca n²-2n+17<n² atunci expresia nu e patrat perfect deoarece e incadrata de 2 patrate consecutive deci pentru n>17/2 daca n e pozitiv .Adica n>8 nu convine si daca n e negativ mai bine pune n=-m unde m e pozitiv si incadrezi
m²+2m+17 intre m+1 si m+2 de unde obtii ca m>6 nu convine astfel ajungi ca doar valorile intregi de la -6 la 8 pot fi solutii.Mai departe verifici pentru fiecare in parte si afli care din ele sunt solutii.