Problema: oglinda concava

[MISAT]

O raza de lumină cade pe o  oglindă sferică concavă cu raza de curbură R paralelă cu axa optică  OO' la  distanța a de aceasta și după reflexie intretaie axa OO' în punctul B. Să se afle raportul dintre a și R, în care greșeala relativă pe care o facem alcătuiește 1 %,  dacă OB=0,5R.




Nu înțeleg, după teorie orice rază paralelă cu axa optică principală  (indiferent la ce distanța aceasta se află de axa optică principală)  după reflexie  o întretaie pe aceasta în focar, distanța focală este o mărime constantă (f=0,5*R), deci raportul  dintre a și R nu este constant .
Cum aș putea continua rezolvare?

[mircea_p]

"Teoria" conform careia o raza paralela cu axa optica este reflectata astfel incat sa treaca prin focar este doar aproximativ valabila pentru oglinzi sferice. Pentru raze nu prea departe de axa optica aproximatia este foarte buna. Optica geometrica invatata in liceu este bazata pe aproximatia razelor paraxiale. Stii ce inseamna asta?

Problema de fata se refera tocmai la a explora cat de buna este aproximatia.
Idea intrebarii este sa se afle cat de larg poate fi fascicolul de lumina (de raza a) astfel incat eroarea sa fie sub 1%.Deci ceea ce trebuie sa faci,pentru inceput,  este sa calculezi geometric pozitia punctului B in functie de a.

[tavy]

Mai mult, pentru ca raza paralelă să tracă prin focar fără a fi nevoie de aproximații trebuie ca oglinda să fie parabolică.
Acesta este motivul pentru care reflectorii antenelor de satelit sunt parabolici (de unde și numele de antenă parabolică).
Culmea, că în cazul satelitului mai bună ar fi un reflector elipsoidal dar în cazul acesta reflectorul ar trebui să fie particularizat pentru o anumită distanță între antenă și satelit, antena parabolică fiind o aproximație suficientă nu știu pe nimeni să se complice cu reflector elipsoidal.

[MISAT]

Optica geometrica invatata in liceu este bazata pe aproximatia razelor paraxiale. Stii ce inseamna asta?

Cred că reprezintă aproximările [tex] sin x=0, cos x=1 [/tex], pentru unghiuri mici care se utilizează deseori la optica geometrică.

Am calculat pozitia punctului B fată de O', fără vreo aproximare, am obtinut [tex]BO'=R-\frac{R^2}{2\sqrt{R^2-a^2}}[/tex], dacă considerăm că a tinde la zero atunci obtinem ca BO`~ 0,5R.
Acum trebuie să calculez  raportul a/R pentru care eroarea să fie mai mică de 1%, din [tex]\frac{|BO'-0,5R|}{0,5R}=0,01[/tex].
E bine asa?

[mircea_p]

Optica geometrica invatata in liceu este bazata pe aproximatia razelor paraxiale. Stii ce inseamna asta?

Cred că reprezintă aproximările [tex] sin x=0, cos x=1 [/tex], pentru unghiuri mici care se utilizează deseori la optica geometrică.

Am calculat pozitia punctului B fată de O', fără vreo aproximare, am obtinut [tex]BO'=R-\frac{R^2}{2\sqrt{R^2-a^2}}[/tex], dacă considerăm că a tinde la zero atunci obtinem ca BO`~ 0,5R.
Acum trebuie să calculez  raportul a/R pentru care eroarea să fie mai mică de 1%, din [tex]\frac{|BO'-0,5R|}{0,5R}=0,01[/tex].
E bine asa?

Da, in aproximatia paraxiala unghiurile dintre raze si axa optica sant mici si se pot folosi aproximatiile de mai sus. Fizic asta inseamna ca toate razele sant aproximativ paralele cu axa optica, ceea ce se raleizeaza daca fascicolul este ingust.
Daca a are valori mari (in raport cu raza), raza reflectata face un unghi mare cu axa si aproximatia nu mai e buna.

Formula obtinut pare in regula. Mai trebuie sa rezolvi ultima relatie in raport cu a.

Mai elegant ar fi sa exprimi totul in functie de raprtul a/R (asta se cere in problema, nu?).
Poti incepe cu BO':
[tex]BO'=R \left[ 1-\frac{R}{2R\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}} \right]=R \left[1-\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}} \right][/tex]
Apoi, in formula erorii, R se simplifica si obtii o ecuatie in variabila a/R.
Succes.

[MISAT]

Deci ceea ce trebuie sa faci,pentru inceput,  este sa calculezi geometric pozitia punctului B in functie de a.

Eu am calculat pozitia punctului B fata de punctul O', este corect asa sau trebuie de calculat in raport cu punctul O.

[mircea_p]

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu?
Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.