problema mecanica(plan inclinat)

[Electron]

Pentru ca e important sa ramana lucrurile clare, am redactat rezolvarea completa a problemei, in nu mai putin de 3 variante. Fiecare e liber sa aleaga varianta care i se pare mai convenabila.

Pentru inceput, reiau enuntul problemei:

[tex]\text
Un corp este asezat pe un plan inclinat de unghi \alpha. (Se da \tan\alpha=1).
Planul inclinat este impins cu acceleratia orizontala a_0=15 m/s^2 a.i. corpul
urca uniform pe plan. Considerand g=10 m/s^2, care este
coeficientul de frecare dintre corp si planul inclinat ?[/tex]

Rezolvare:

Indiferent de metoda, este important sa observam ce se da in problema,dar si sa facem notatiile necesare pentru rezolvare.

La nivel de date avem asa:
[tex]a_0 = 15 m/s^2[/tex], este orizontala astfel incat corpul urca pe plan;
[tex]g = 10 m/s^2[/tex], evident, verticala in jos;
[tex]\tan\alpha = 1[/tex];
In plus, trebuie sa remarcam faptul ca miscarea in sus pe plan a corpului,implica faptul ca forta de frecare va fi orientata in josul planului.

Cu asta, putem face desenul pe baza datelor problemei:

De remarcat faptul ca am desenat situatia fata de Pamant, adica vedem acceleratia [tex]a_0[/tex] indreptata spre stanga (daca ar fi orientata spre dreapta, data fiind configuratia sistemului, corpul nu ar avea cum sa urce pe planul inclinat).

Tot legat de acceleratie, trebuie sa observam ca in problema se specifica faptul ca planul se misca accelerat pe directie orizontala (fata de Pamant desigur) si ca avem corpul care urca uniform pe plan, adica nu e accelerat fata de plan. Cu alte cuvinte, corpul are fata de Pamant aceeasi acceleratie ca si planul.

Notatii generale:
[tex]\mu[/tex] - coeficientul de frecare dintre corp si plan;
[tex]\vec{F_f}[/tex] - forta de frecare;
[tex]\vec{N}[/tex] - forta de reactiune normala a planului;
[tex]\vec{G}[/tex] - forta de greutate;
[tex]m[/tex] - masa corpului de pe plan;

Cele trei metode prezentate mai jos difera doar prin alegerea sistemului de referinta din rezolvare, conducand evident la acelasi rezultat. De retinut ca in orice rezolvare a problemelor de mecanica, e esentiala precizarea sistemului de referinta folosit, deoarece altfel se poate ajunge la ecuatii fizice eronate. Sa nu uitam ca rezolvam o problema de fizica, nu facem doar jonglerii matematice irelevante. O rezolvare care contine ambiguitati si lasa loc de "ghicit" este incompleta si deci incorecta.


METODA I

Consideram un sistem de referinta legat de Pamant (deci INERTIAL), cu axa ox orizontala (orientata spre dreapta) si axa oy verticala (orientata in sus). Cu alte cuvinte folosim sistemul de referinta "din oficiu", folosit in cele mai multe cazuri. Oricum, a se retine ca precizarea lui este esentiala in rezolvare. Grafic sistemul de referinta ales arata cam asa, alaturi de desenul initial:


Inainte sa trecem la calcule, se pune intrebarea: e desenul complet (la nivel de forte) ? Vom studia miscarea corpului pe plan, asa ca ne referim la fortele care actioneaza asupra lui. Eventualele forte care actioneaza asupra planului le vom ignora.
Ei bine, sa detaliem:
- greutatea [tex]\vec{G}[/tex] este prezenta pentru ca stim ca suntem "pe Pamant" deoarece ni se da acceleratia gravitationala [tex]g[/tex].
- reactiunea normala [tex]\vec{N}[/tex] este prezenta si orientata mereu perpendicuar pe suprafata de contact, deoarece aceasta exista mereu la contactul dintre corpuri
- forta de frecare [tex]\vec{F_f}[/tex] este desenata, deoarece problema se refera la o situatie in care evident frecarea nu poate fi neglijata (altfel nu ni s-ar cere [tex]\mu[/tex]). In plus, stim cum e orientata deoarece se spune explicit in problema ca avem corpul care urca pe plan.
- avem si acceleratia [tex]a_o[/tex] a corpului fata de Pamant, orientata orizontal spre stanga.

Mai sunt alte forte? Raspus: NU, pentru ca sistemul de referinta este inertial si nu mai avem alte interactiuni in problema.

Va veti intreba ce facem cu planul care e accelerat orizontal? E clar ca acesta "impinge" corpul, oare nu trebuie sa desenam o forta orizontala (spre stanga probabil) care "impinge" corpul? Raspuns: NU, pentru ca deja am luat in calcul contactul dintre corp si plan (avem deja pe [tex]\vec{N}[/tex]), iar prin supozitia implicita ca nici corpul nici planul inclinat nu se deformeaza in acesta problema, iar corpul urca uniform pe plan,  am ajuns deja la concluzia ca planul imprima aceeasi acceleratie [tex]a_o[/tex] corpului, fata de Pamant (si deci fata de sitemul de referinta ales).

Bun, nu mai ramane decat sa explicitam al doilea principiu al dinamicii pentru corpul de pe plan, fata de sistemul de referinta ales, descompus pe cele 2 axe. De retinut ca fara a specifica sistemul de referinta, scrierea ecuatiilor fizice nu are nici o valoare.

Putem face desenul ajutator urmator:

Ox: [tex]-N\sin\alpha - F_f\cos\alpha = - a_0 m[/tex]
Nota: toate semenele "minus" provin din faptul ca avem componentele orizontale ale fortelor si acceleratia orientate spre stanga, in timp ce axa Ox e orientata spre dreapta.
Oy: [tex]N\cos\alpha - F_f\sin\alpha - G = 0[/tex]
Nota: pe axa Oy nu avem acceleratie, de aceea avem egalitate cu zero.

Folosind relatiile:
[tex]G = mg[/tex] si [tex]F_f = \mu N[/tex], obtinem:

[tex]-N\sin\alpha - \mu N\cos\alpha = - a_0 m[/tex] si
[tex]N\cos\alpha - \mu N\sin\alpha - mg = 0[/tex]

Nota: pana aici am facut fizica. De aici, e doar o chestiune de algebra pentru a exprima pe [tex]\mu[/tex] in functie de datele problemei.

Scoatem pe [tex]m[/tex] din prima ecuatie:

[tex]m a_0 = N (\sin\alpha + \mu \cos\alpha) \Rightarrow m = \frac{N}{a_0}(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)[/tex]

si il inlocuim in a doua:

[tex]N(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = mg \Rightarrow N(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = \frac{gN}{a_0}(\sin\alpha + \mu \cos\alpha) [/tex]

Simplificam cu [tex]N[/tex] (nenul) :

[tex]\cos\alpha - \mu \sin\alpha = \frac{g}{a_0}(\sin\alpha + \mu \cos\alpha) [/tex]

Amplificam cu [tex]a_0[/tex]:

[tex]a_0 \cos\alpha - a_0 \mu \sin\alpha = g\sin\alpha +g\mu \cos\alpha[/tex]

Simplificam cu [tex]\cos\alpha[/tex] (nenul) :

[tex] a_0 \mu \tan\alpha + g \mu = a_0-g\tan\alpha \Rightarrow \mu(a_0\tan\alpha + g)= a_0-g\tan\alpha\Rightarrow [/tex]

[tex]\mu=\frac{a_0-g\tan\alpha}{a_0\tan\alpha + g}[/tex]   Aceasta e formula finala.

Pentru aplicatia numerica e nevoie de putina aritmetica:

[tex]\mu=\frac{15 m/s^2-10 m/s^2 }{15 m/s^2+10 m/s^2} = \frac{5}{25} = 0,2[/tex]



METODA II:

Spre deosebire de metoda I, vom folosi un sistem de referinta legat de Pamant (deci INERTIAL), cu axa ox paralela cu planul inclinat (orientata spre baza planului) si axa oy perpendiculara pe plan (orientata in sus). Acest reper pare "mai comod" in acest caz. Grafic sistemul de referinta arata cam asa, alaturi de desenul initial:


Discutia despre fortele desenate de la metoda I este complet valabila si aici, deoarece sistemul ales este inertial si de data aceasta.

Bun, nu mai ramane decat sa explicitam al doilea principiu al dinamicii pentru corpul de pe plan, fata de sistemul de referinta ales, descompus pe cele 2 axe. De retinut ca fara a specifica sistemul de referinta, scrierea ecuatiilor fizice nu are nici o valoare.

Putem face desenul ajutator urmator:

Nota: Am desenat alaturat si descompunerea acceleratiei pentru a vizualiza mai usor componentele sale in noul sistem de referinta.

Ox: [tex]G\sin\alpha + F_f = m a_0\cos\alpha[/tex]

Oy: [tex]N - G\cos\alpha = m a_0\sin\alpha[/tex]

Folosind relatiile:
[tex]G = mg[/tex] si [tex]F_f = \mu N[/tex], obtinem:

[tex]m g\sin\alpha + \mu N = m a_0\cos\alpha[/tex] si
[tex]N - m g\cos\alpha = m a_0\sin\alpha[/tex]

Nota: pana aici am facut fizica. De aici, e doar o chestiune de algebra pentru a exprima pe [tex]\mu[/tex] in functie de datele problemei.

Scoatem pe [tex]N[/tex] din a doua ecuatie:

[tex]N=m a_0\sin\alpha + m g\cos\alpha[/tex]

si il inlocuim in prima:

[tex]m g\sin\alpha + \mu (m a_0\sin\alpha + m g\cos\alpha) = m a_0\cos\alpha \Rightarrow\mu (m a_0\sin\alpha + m g\cos\alpha) = m a_0\cos\alpha - m g\sin\alpha[/tex]

Simplificam cu [tex]m \cos\alpha[/tex] (nenul) :

[tex]\mu (a_0\tan\alpha + g) = a_0 - g\tan\alpha \Rightarrow [/tex]

[tex]\mu=\frac{a_0-g\tan\alpha}{a_0\tan\alpha + g}[/tex]   Aceasta e formula finala, desigur aceeasi ca si in metoda I. Aplicatia numerica e desigur si ea aceeasi:

[tex]\mu=\frac{15 m/s^2-10 m/s^2 }{15 m/s^2+10 m/s^2} = \frac{5}{25} = 0,2[/tex]



METODA III:

Spre deosebire de metodele I si II, vom folosi un sistem de referinta legat de planul inclinat (deci NEINERTIAL). Alegem orientarea "mai comoda" ca in metoda II, cu axa ox paralela cu planul inclinat (orientata spre baza planului) si axa oy perpendiculara pe plan (orientata in sus). Grafic sistemul de referinta arata cam asa, alaturi de desenul cu fortele:

Desigur, desenul cu fortele s-a schimbat.

De ce? Pentru ca am ales un sistem de referinta neinertial (legat de planul inclinat care se misca accelerat pe orizontala fata de Pamant, care e inertial). In acest sistem de referinta corpul urca uniform pe plan (cum spune problema) si nu are nici o acceleratie.  Dar in sistemele de referinta neinertiale, asupra corpurilor actioneaza "forte de inertie" in directie opusa acceleratiei sistemului, egale cu masa corpului respectiv inmultita cu acceleratia sistemului.

In desen am reprezentat deci [tex]\vec{F_i}[/tex], ea avand magnitudinea [tex]F_i = m a_0[/tex].

Inainte sa trecem la calcule, se pune intrebarea: e desenul complet (la nivel de forte) ? Vom studia miscarea corpului pe plan, asa ca ne referim la fortele care actioneaza asupra lui. Eventualele forte care actioneaza asupra planului le vom ignora.
Ei bine, sa detaliem:
- greutatea [tex]\vec{G}[/tex] este prezenta pentru ca stim ca suntem "pe Pamant" deoarece ni se da acceleratia gravitationala [tex]g[/tex].
- reactiunea normala [tex]\vec{N}[/tex] este prezenta si orientata mereu perpendicuar pe suprafata de contact, deoarece aceasta exista mereu la contactul dintre corpuri
- forta de frecare [tex]\vec{F_f}[/tex] este desenata, deoarece problema se refera la o situatie in care evident frecarea nu poate fi neglijata (altfel nu ni s-ar cere [tex]\mu[/tex]). In plus, stim cum e orientata deoarece se spune explicit in problema ca avem corpul care urca pe plan.
- avem forta de inertie [tex]\vec{F_i}[/tex], orientata pe orizontala spre dreapta, asa cum s-a stabilit mai sus.
- in acest caz nu avem deloc acceleratie pentru corpul de pe plan, tocmai din cauza alegerii sistemului de referinta de la inceputul metodei III.

Mai sunt alte forte? Raspus: NU, pentru ca sistemul de referinta este neinertial si situatia este echivalenta cu cea din celelalte metode, plus forta de inertie pe care am inclus-o.

Bun, nu mai ramane decat sa explicitam al doilea principiu al dinamicii pentru corpul de pe plan, fata de sistemul de referinta ales, descompus pe cele 2 axe. De retinut ca fara a specifica sistemul de referinta, scrierea ecuatiilor fizice nu are nici o valoare.

Putem face desenul ajutator urmator:


Ox: [tex]G\sin\alpha + F_f - F_i\cos\alpha = 0[/tex]

Oy: [tex]N - G\cos\alpha - F_i\sin\alpha = 0[/tex]

Folosind relatiile:
[tex]G = mg[/tex] , [tex]F_f = \mu N[/tex] si [tex]F_i = m a_0[/tex], obtinem:

[tex]m g\sin\alpha + \mu N - m a_0\cos\alpha = 0[/tex] si
[tex]N - m g\cos\alpha - m a_0\sin\alpha = 0[/tex]

Nota: pana aici am facut fizica. De aici, e doar o chestiune de algebra pentru a exprima pe [tex]\mu[/tex] in functie de datele problemei.

Scoatem pe [tex]N[/tex] din a doua ecuatie:

[tex]N=m a_0\sin\alpha + m g\cos\alpha[/tex]

si il inlocuim in prima:

[tex]m g\sin\alpha + \mu (m a_0\sin\alpha + m g\cos\alpha) = m a_0\cos\alpha \Rightarrow\mu (m a_0\sin\alpha + m g\cos\alpha) = m a_0\cos\alpha - m g\sin\alpha[/tex]

Simplificam cu [tex]m \cos\alpha[/tex] (nenul) :

[tex]\mu (a_0\tan\alpha + g) = a_0 - g\tan\alpha \Rightarrow [/tex]

[tex]\mu=\frac{a_0-g\tan\alpha}{a_0\tan\alpha + g}[/tex]   Aceasta e formula finala, desigur aceeasi ca si in metodele I si II. Aplicatia numerica e desigur si ea aceeasi:

[tex]\mu=\frac{15 m/s^2-10 m/s^2 }{15 m/s^2+10 m/s^2} = \frac{5}{25} = 0,2[/tex]

---

Cu asta sper ca s-au clarificat toate nedumeririle legate de "fortele de inertie" din problema asta. A se retine ca desi cele trei metode dau acelasi rezultat, e incorect sa amestecam sistemele de referinta si ecuatiile din cele trei metode intr-un talmes-balmes din care fiecare sa subinteleaga ce poate. Fara alegerea sistemului de referinta explicit si folosirea lui in rezolvare, rezulta doar jonglerii matematice fara relevanta fizica.

e-

[Adi]

Wow, impresionanta munca ta. Excelent, Electron!

[Electron]

Multumesc Adi. Sper sa fie de folos celor care sunt interesati de fizica.


e-