Problemă de mecanică cu viteze exprimate în funcție de vectorii i și j

[bbb]

Am nevoie de puțin ajutor, vă rog... Am dat peste o problemă într-un curs de mecanică ce sună cam așa:
Un vapor S se mișcă cu viteză constantă (2i-3j) km/h, iar un vapor R se mișcă cu viteză constantă 6i km/h. La prânz S este în punctul cu vector de poziție 8i km iar R este în punctul O, originea sistemului. La t ore după prânz, vectorii de poziție a lui S și R sunt skm, respectiv rkm. Se cere:
1. Să se afle s și r, în funcție de t.
La T ore după prânz, R este la nord-est de S.
2. Să se afle valoarea lui T.
și 3. Să se afle distanța dintre S și R la T ore după prânz.

Bun, prima parte a problemei am rezolvat-o. Știu că r(t)=r0 + vt, unde r(t) este vectorul de poziție la t ore după prânz, r0 e poziția inițială iar v, vectorul viteză. De aici am aflat s ca fiind 8i +t(2i-3j) Km, iar r ca fiind 8ti. Dar la partea a doua m-am împotmolit. Știu că dacă R ar fi la nord de S, componentele i ale vectorilor de poziție ar fi egale, iar dacă ar fi la est, componentele j ar fi egale. Dar dacă este la nord-est, cum este? E prima problemă de genul acesta peste care dau, și chiar nu am nici o idee acum. Apoi, la partea 3. ,dacă aș afla valoarea lui T, nu cred că aș avea probleme în calcularea distanței.
Puteți să îmi dați un indiciu, vă rog?

[Adi]

Dupa parerea mea, daca ai doua puncte P1(x1,y1) si P2(x2,y2), ca P2 sa fie mai la nord est de P1 inseamna sa fie mai la dreapta si mai sus decat P1.  Adica x2>x1 (sa fie mai la est) si y2>y1 (sa fie mai sus). Cred ca trebuie sa scrii cele doua conditii si sa rezolvi sistemul de inecuatii. Nu am vazut o problema formulata asa sa fie mai la nord est decat celalalt.

O alta varianta ar fi sa faci graficul pentru fiecare cum evolueaza pozitia pe un sistem de coordonate in functie de timp si sa vezi care unde fata de care. Si la un moment dat P2 devine la nord-est de P1 si ramane asa o vreme. Si gasesti acel punct grafic pentru confirmare.

[mircea_p]

NE inseamna o pozite mai precisa decat la dreapta si in sus.
E vorba de un unghi de 45 de grade.
Cred ca daca iei vectorul diferenta intre vectorii de pozitie ai celor doua vapoare, ar trebui sa fie la 45 de grade fata de x si y (deci sa aiba componente egale pe cele doua axe.
(e vorba de vectorul r-s in cazul de fata).

[Electron]

Dar dacă este la nord-est, cum este?

Eu inteleg ca e vorba de o pozitie in care R este pe diagonala fata de S,  adica atunci cand linia dintre R si S devine paralela cu prima bisectoare, R aflandu-se "mai sus si la dreapta" lui S.
Mai riguros: Daca S are pozitia (a,b) si R are pozitia (c,d), atunci R este la nord-est de S daca c-a = d-b (> 0).

e-

[bbb]

M-am gândit și eu să fac așa cum a zis Adi.
Am vectorii de poziție a lui S și R de la punctul 1. :
Pt. S: (8+2t)i - 3tj
Pt. R: 6ti
Și m-am gândit că R este mai la dreapta de S, deci că 6t>8+2t, de unde rezultă că t>2. Iar dacă este mai sus decât S, atunci componenta j a lui R e mai mare decât cea a lui S. Dar din asta ar rezulta că 0>-3t, ceea ce nu duce la nimic...
O să încerc să văd unde duce dacă le iau cum a zis Electron...

[Adi]

OK, daca NE inseamna chestia asta precisa cum zice Bianca si Electron, atunci conditia este ca vectorul [(x2-x1)i+(y2-y1)j]*[-1i+1j]=0 (adica vectoroul diferenta intre cei doi vectori este perpendicular pe o vectorul ala care e perpendicular pe directia nord est) si de aici afli momentul t la care se intampla asta.

* este produsul scalar pe care stii sa il faci in forma asta pe componente.

[bbb]

Ok, am rezolvat problema...Uhuuu!!! Sper doar ca metoda mea să nu fie una inventată de mine și să existe și în realitate...
Știu că unghiul dintre direcțiile celor două vapoare trebuie să fie de 45 de grade, iar componenta i a lui S corespunde cu direcția lui R. De aici am spus că unghiul dintre 8+2t (componenta i a lui S) și -3t (componenta j a lui S) este de 45 de grade. Am aplicat funcția tangentă, de unde mi-a dat că (3t) : (8+2t) = tan 45. Îmi rezultă din asta că 3t = 8+2t, deci t este 8. Ăsta e și răspuncul din carte, deci e corect.
La ultima parte nu cred să am probleme, am mai rezolvat genul acela de întrebări.
Mersi mult de ajutor!

[Adi]

Metoda ta e corecta. Dar de curiozitate, poti verifica si rezultatul dat de metoda mea? Si daca da rezultatul bun, poti vedea care e mai scurta?

[mircea_p]

Ok, am rezolvat problema...Uhuuu!!! Sper doar ca metoda mea să nu fie una inventată de mine și să existe și în realitate...
Știu că unghiul dintre direcțiile celor două vapoare trebuie să fie de 45 de grade, iar componenta i a lui S corespunde cu direcția lui R. De aici am spus că unghiul dintre 8+2t (componenta i a lui S) și -3t (componenta j a lui S) este de 45 de grade. Am aplicat funcția tangentă, de unde mi-a dat că (3t) : (8+2t) = tan 45. Îmi rezultă din asta că 3t = 8+2t, deci t este 8. Ăsta e și răspuncul din carte, deci e corect.
La ultima parte nu cred să am probleme, am mai rezolvat genul acela de întrebări.
Mersi mult de ajutor!

Aici ai avut putin noroc. E o coincidenta ca in cazul asta unul din vectori e la 45 de grade fata de axa x  cand diferenta e si ea la 45 de grade. Incearca sa rezolvi de exemplu: la ce ora unul din vapoare e in directia [N30E] fata de celalat (adica la 30 de grade est fata de nord).
Diferenta intre cei doi vectori este cea care trebuie sa astisfaca conditia unghiulara data si nu unul din vectorii de pozitie.

Un alt mod de a vedea lucrurile, cu aceeasi matematica:
Facand diferenta intre vectorii de pozitie de fapt treci de la un sistem fix la un sistem legat de unul din vapoare si pur si simplu calculezi vectorul de pozitie al celuilat fata de primul. Apoi vezi ce unghi face cu axele.

Satisfacerea conditiei unghiulare date se poate impune cu ajutorul componentelor si a tangentei sau prin alte metode (cum e cea propusa de Adi).

[bbb]

30 de grade E față de N e ceea ce numesc englezii "on a bearing of 30 degrees" ?
Voi aprofunda problema după examene...vreau să iau notă mare la ultimul pentru că ieri am dat-o în bară cu unul din examene...

[mircea_p]

E ceea ce numesc americanii (si canadienii) "30 degrees East of North" si scriu [N30E] in cartile de fizica de liceu. Nu e la fel si in Anglia?
"A bearing" ar trebui sa fie data fata de o referinta. S-ar putea ca in navigatie referinta sa fie nordul, ca si in topografie si atunci asa e cum spui. In acest caz e acealsi lucru cu azimutul.

[S30W] nu mai poti sa spui ca e tot "a 30 degree bearing" ca nu mai e fata de nord. Ar fi 180+30=210.
Dar n-are prea mare importanta pentru problema de fata. Important e sa intelegi cerintele problemei.

[bbb]

Până acum nu am întâlnit niciodată notația asta, tot ce am văzut până acum e acea "bearing", pe care o calculează în sens orar, de la nord către punctul respectiv, în grade.
Acum referitor la problema propusă de tine. M-am tot gândit la ea și cred că am nevoie de puțin ajutor în înțelegerea cerinței. Dacă unul din vapoare e la 30 de grade est față de nord de celălalt, ar însemna că unghiul dintre direcția nord și linia ce unește cele două vase e de 30 de grade?
În încercarea mea de schiță pe care o atașez, V1 și V2 ar fi cele două vapoare. Practic V1 e la nord și la est de V2, unghiul dintre direcția nord a lui V2 și linia ce unește cele două vapoare e 30 de grade.
E corectă gândirea mea? Dacă e, atunci pot afla tot cu ajutorul tangentei timpul...

[mircea_p]

Da, asta e ceea ce voiam sa spun. E vorba de unghiul format de linia care unsete vapoarele cu directia de referinta (nord in cazul de fata) si nu de unghiul intre vectorii de pozitie ai celor doua vapoare.
In problema formulata initiala se intampla ca cele doua unghiuri sa fie egale dar e doar o coincidenta.

[bbb]

Mersi mult. Am înțeles cu ce se mănâncă problemele astea acum.