Problema de mecanica cu alunecarea unui corp pe o pana

[b12mihai]

Problema suna in felul urmator (o citez exact ca in cartea de fizica) : Pe suprafata laterala a unei pene cu unghiul [tex]\alpha = 45^o [/tex] si masa [tex] M = 2 \ kg [/tex] aluneca un corp cu masa [tex] m = 1 \ kg [/tex] . Pana se afla pe suprafata orizontala a unei mese. Frecarea dintre pana si masa se neglijeaza (comentariu: dar nu zice daca frecarea dintre corp si pana se neglijeaza si nu imi da nici un coeficient de frecare).

a) Sa se calculeze acceleratia cu care se misca pana pe masa cand corpul aluneca pe pana

b) Care este acceleratia corpului de masa [tex]m[/tex] fata de pana?

Figura din problema este cea din desenul acesta:

Reprezentarea fortelor, tratand corpurile separat ar trebui sa fie asa (daca e sa neglijez frecarile dintre suprafete, corpuri etc.): http://img407.imageshack.us/img407/7229/154figrezv.jpg

Si acum incepe problema...Am aplicat principiul al doilea in felul urmator:

Pentru corpul m avem [tex]mg\sin\alpha = m a_1 [/tex] si [tex] N = mg\cos\alpha [/tex]

Iar pentru corpul M ar trebui sa fie ceva in genul [tex] N_0 - N \cos\alpha - Mg = 0 [/tex] si [tex] N sin \alpha = M a_2 [/tex]

Dar [tex] \vec{a_1} [/tex] nu ar trebui sa fie totuna cu [tex] - \vec{a_2} [/tex] ? Adica [tex] a_1 = a_2 [/tex] dar au sensuri contrare? Ca singura forta care face pana sa se miste e reactiunea normala - faptul ca m cade si in acelasi timp impinge pana...Momentan asta e tot ce ma duce capul in momentul asta...

[mircea_p]

Pentru corpul m avem [tex]mg\sin\alpha = m a_1 [/tex] si [tex] N = mg\cos\alpha [/tex]

Vezi ca a doua conditie nu prea mai e valabila in cazul de fata. Miscarea blocului are componenta si pe directia normala la plan.
Eu as rezolva in sistemul neinertial al penei, introducand forta de inertie.
Acceleartia penei e numai orizontala. Cea a blocului e oblica. Deci vectorii acceleratie nu sant opusi.

[Alexandru Rautu]

Hehehe... problema mea preferată    Se poate rezolva foarte uşor (doar în câteva rânduri) cu formalismul Langragian, dar în jur de 3-4 pagini cu legiile lui Newton.

Vezi că şi planul înclinat alunecă şi are o anumită acceleraţie, ce influenţează corpul m. Problema nu e simplă, dar e frumoasă şi merită să petreci ceva timp asupra ei. 

[graethel]

Sau poti rezolva inertial, fata un sistem de referinta fix la nivelul solului, si atunci acceleratia corpului m este suma dintre acceleratia corpului M (caci corpul M "il trage" dupa el pe m cu aceeasi acceleratie) plus acceleratia relativa a corpului m fata de M (deoarece corpul m aluneca pe M - acceleratia relativa e paralela cu planul inclinat al penei). Fortele pe care le-ai scris tu sunt ok, daca tratezi problema inertial nu mai exista alte forte. Scrii principiul doi si dupa relativ destule calcule obtii rezultatul.

[b12mihai]

Imi cer scuze ca revin cu mesaj asa tarziu...am tot incercat sa fac problema si tot nu imi iese...ajung la concluzia ca una din acceleratii imi da negativ...ceea ce mi se pare absurd...Am atasat desenul si tentativa mea de a rezolva

@Alexandru Rautu - ce este ala formalism Langragian?

[Adi]

Pai chiar e normal ca daca corpul cade spre dreapta (adica daca panta penei e spre dreapta), pana sa o ia spre stanga. Deci e normal ca cele doua accelerati sa aiba sens opus, nu?

Dupa cum vezi deja si tu in cazul de fata, ecuatiile lui newton merg mereu, dar pe masura ce problemele devin mai complexe (mai multe corpuri ce se pot misca in sistem, dar care sunt legate unele de altele), ecuatiile devin tot mai numeroase si mai complexe de rezolvat. Exista un alt formalism matematic, echivalent cu cel al lui Newton, descoperit de Lagrange. Pe baza lui poti rezolva ecuatia de miscare rezolvand o ecuatie diferentiala. Nu mai folosesti notiunea de forta, ci cea de impuls si energie cinetica si energie totala. Apoi s-a creat inca un alt formalism, descoperit de Hamilton. Toate trei sunt echivalente matematic. Dar dintre toate, doar cel Hamiltonian este usor de generalizat atunci cand se trece la mecanica cuantica.

Cu alte cuvinte, la facultate vei invata cele doua formalisme daca continui cu fizica. S-ar putea ca si la politehnica sa le faci. Dar mecanica cuantica o vei face doar dac vei studia fizica.

Ca sa fie si mai clar, stii ca in fizica moderna (adica mecanica cuantica) nu mai vorbesti de forta F=ma, ci doar de energii, impuls, masa, etc (ei bine, exact ca in formalismul hamiltonian).

[mircea_p]

Imi cer scuze ca revin cu mesaj asa tarziu...am tot incercat sa fac problema si tot nu imi iese...ajung la concluzia ca una din acceleratii imi da negativ...ceea ce mi se pare absurd...Am atasat desenul si tentativa mea de a rezolva

O observatie dupa o citire in viteza:
Forta de inertie actionand asupra corpului care aluneca pe pana este m*a2 (si nu M*a2) unde a2 este acceleratia penei, m este masa corpului mic si M cea a penei, daca inteleg bine notatiile. 

[mircea_p]

@ Gothik:

Revin cu alte doua observatii:
1. Ecuatia pentru pana  pe axa oy nu e corecta. Mai exista si reactiunea mesei pe care aluneca pana.
2. Semnul negativ provine din faptul ca ai luat sensul pozitiv in sus cand ai scris ecuatia pentru m pe axa y. De fapt corpul aluneca in jos.

Daca scrii ecuatiile pentru corpul mic in sistemul neinertial, poti rezolva pentru a afla N.
Apoi gasesti acceleratia penei din ecuatia pe axa x scrisa pentru pana.
Calculul e ceva mai simplu daca folosesti axele normal/paralel cu planul in loc de x xi y.

[b12mihai]

@mircea_p - cred ca am facut-o...Mie imi dadea negativ pentru ca eu uitam ca pana sta pe o masa si nu reprezentasem reactiunea normala a mesei fata de pana (sau reactiunea cu care actioneaza masa asupra penei)...acum ecuatiile par sa fie bine, folosind indicatiile tale...Tin sa iti multumesc mult pentru rabdarea pe care ai avut-o cu mine pana acum

Am atasat desenul cu reprezentarea fortelor si cu ecuatiile rezultate in urma aplicarii principiului 2

@Adi - multumesc pt clarificari...trebuie sa ne invete la facultate. Daca nu, ma apuc si studiez individual pentru ca pare extrem de interesanta metoda! Si da, mi-au tot spus mai toti profii de fizica (scuzati cacofonia) ca este corect formulat principiul II asa: [tex] \vec{F} = \frac{\vec{\Delta p}}{\Delta t} [/tex] si nu asa: [tex] \vec{F} = m \vec{a} [/tex] , si ca Newton cu variatia impulsului in timp l-a formulat, nu cu ma...interesant, acum inteleg de ce insistau ca e corecta faza cu impuls nu cu m*a  .

[Adi]

Buna Gothik, ambele formule sunt corecte. Si F=ma si F=dp/dt (scrise vectoriat). F=dp/dt este poate "mai fundamentala" daca poti zice asa. Noi am studiat asta cu formalismul Lagrange singuri pentru nationale. Sa il intelegi de unde vine e mai complex, dar sa vezi ce formula se foloseste si sa o rezolvi pe cateva probleme simple, asta poti face si tu acum, dupa bac, just for fun. 

[mircea_p]

Nu spui si tu cat ti-a dat acceleratia?

Formalismul Lagrangean (sau Lagrangian?) este legat de actiune si principiul minimei actiuni.
Poti sa citesti in Feynman despre actiune si principiul actiunii minime, la un nivel accesibil.

[b12mihai]

Asa, am efectuat si calculele si mi-a dat in felul urmator:

Pentru punctul a) Acceleratia cu care pana aluneca pe masa are expresia literara [tex] a_2 = \frac{mg \ \cos \alpha \ \sin \alpha}{M + m\sin^2 \alpha} [/tex] si imi da ca valoare 1,96 m/s². - verificand cu raspunsul din carte am vazut ca si acolo tot valoarea asta figureaza.

Pentru punctul b) Acceleratia acceleratia corpului de masa m fata de pana este [tex] a_1 = a_2 \cos \alpha + g \sin \alpha [/tex] si are o valoare de 8,48 m/s² (in carte la raspunsuri spune ca e 8,3  )

Buna Gothik, ambele formule sunt corecte. Si F=ma si F=dp/dt (scrise vectoriat). F=dp/dt este poate "mai fundamentala" daca poti zice asa. Noi am studiat asta cu formalismul Lagrange singuri pentru nationale. Sa il intelegi de unde vine e mai complex, dar sa vezi ce formula se foloseste si sa o rezolvi pe cateva probleme simple, asta poti face si tu acum, dupa bac, just for fun. 

Oricum e foarte interesant si asta inseamna ca il pot intelege cu toata matematica si fizica pe care o stiu pana acum.

@mircea_p - multumesc de sugestie. Am sa caut.

Va multumesc inca o data pentru timpul acordat.

[mircea_p]

Multumesc pentru postarea rezultatelor.
In privinta diferentei numerice, tu ai folosit g=10 m/s^2, asa e?
Ei au luat 9.8 m/s^2 probabil.

[b12mihai]

Da, eu am folosit [tex] g=10 m/s^2 [/tex] din comoditate. Uneori calculele ies mai usor (si mai frumos) folosind [tex]9.8 m/s^2 [/tex]. Pana la urma cea din urma este valoarea corecta si reala, nu? Si normal ar fi sa se foloseasca aceasta in rezolvarea problemelor.

[mircea_p]

Ambele sant "corecte", cu diferite grade de precizie.
10 este corecta cu o cifra semnificativa si 9.8 cu doua.

Daca iei g rotunjit la 10, rezultatul trebuie si el rotunjit la o singura cifra semnificativa, ceea ce este 8 si este in agrement cu raspunsul lor, care e tot 8 dac il rotunjesti la o singura cifra semnificativa.
Sigur, cifrele semnificative ofera un mod rapid dar aproximativ de a urmari efectul erorilor de masura.

Valorile lui g variaza  la suprafta pamantului intre 9.789 m/s2 la ecuator si 9.823 m/s^2 la pol.
Deci 9.8 m/s^2 poate fi diferit de valoarea reala cu aproximativ 2%.