Oscilatii

[foton01]

Salut!
Zilele acestea am primt o culegre cu probleme rezolvate legate de oscilatii. Am vazut ca in multe dintre probleme rezolvarea consta in gasirea ecuatiei diferentiale caracteristice miscarii oscilatiei respective...din aceasta ecuatie deduceau imediat perioada si pulastia (acestea doua se cereau). Eu nu am mai intalnit astfel de rezolvari...am cautat si pe internet despre subiect dar nu am priceput mai nimic. Eu stiu sa rezolv aceste probleme in "stilul clasic" (arat ca rezultatanta fortelor este de tipul [tex]F=k*y[/tex] de unde deduc perioada si pulsatia.Imi puteti va rog explica aceasta ecuatie?
Sa va dau exemplu de o problema:
Determinati perioada micilor oscilatii ale pendulului din figura atasata. Lungimea pendulului este [tex]l[/tex], iar inclinarea axului sau de rotatie fata de verticala este [tex]\alpha[/tex]. Se neglijeaza masa tijei.

Multumesc!!

[zec]

 Ar trebui sa distingi 2 lucruri.Exista niste formule pentru un mod clasic de rezolvare dar nu este si cel mai corect deoarece formulele sunt rezultatul unor ecuatii diferentiale.
  Newton cand a descoperit rezultatele sale din analiza matematica el a facut asta explicand elemente de mecanica.A numit atunci la vremea lui "Calcul infinitezimabil" si practic avea sa puna bazele anailzei matematice de azi.Simultan cam in aceeasi perioada Leibniz realiza acelasi lucru dar pe calea matematica.De aceea regasim la  integrale aceea teorema Newton-Leibniz.
Intre timp analiza matematica sa dezvoltat enorm si evident cel mai mult din cauza fizicii si cele mai multe probleme evident in ecuatii diferentiale.Teoria ecuatiilor diferentiale e una extrem de complexa si primul exemplu de ecuatie, este integrala nedefinita care e ecuatie de forma y'=f.Dar eu imi aduc aminte in facultate de EFM=ecuatiile fizici ale matematici(doamne ce materie grea a fost:D abia am luat 5) cu ecuatiia coardei vibrante ,operatorul Laplace,problema Dirichlet,transformarea Fourier si altele in care ideea principala era sa se rezolve ecuatiile importante cu aplicatii in fizica,evident ca sa studiat in modul general aceasta teorie.
In concluzie ceea ce vreau sa zic este urmatorul lucru,e imposibil sa intelegi ecuatiile diferentiale fara un studiu superior exceptand primitivele.

[HarapAlb]

Am revazut enuntul prolemei. Forta centrifuga si greuatea se compun astfel incat rezultanta este pe directia firului pendului. Dupa folosesti formula clasica a perioadei oscilatiilor insa in loc de acceleratia gravitationala folosesti accelertia ce rezulta din compunerea fortelor.

[tavy]

Îmi aduc aminte cu plăcere că, în facultate, unul din subiectele preferate de profesori la unul din examenele de mecanică analitică din anul doi era o problemă de mici oscilații. Se aplica în principiu formalismul Lagrangean și se ajungea la oarece ecuație diferențială. Principala cerință la aceste probleme era determinarea frecvențelor sau perioadelor de oscilație.
Interesant că cu puțin timp înainte de examen am găsit într-o carte o metodă banală de rezolvare foarte ușoară a problemelor de acest gen.
Metoda era următoarea:
- Se determina numărul gradelor de libertate ([tex]N[/tex] al sistemului (în marea majoritate a problemelor acesta era 2).
- Se alegea un set convenabil de coordonate generalizate ale sistemului [tex]q_1, q_2, \cdots, q_N[/tex].
- Se determinau energia cinetică [tex]T[/tex] și energia potențială [tex]V[/tex] ca funcții de coordonatele generalizate alese.
- Se calculau [tex]T_{ij}[/tex] și [tex]V_{ij}[/tex] după formulele:[tex]T_{ij}=\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\partial T}{\partial q_j}[/tex], [tex]V_{ij}=\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\partial V}{\partial q_j}[/tex]
- Se rezolva ecuația:
[tex]
\begin{vmatrix}
V_{11}-\omega^2T_{11} & V_{12}-\omega^2T_{12} & \cdots & V_{1N}-\omega^2T_{1N}\\
V_{21}-\omega^2T_{21} & V_{22}-\omega^2T_{22} & \cdots & V_{2N}-\omega^2T_{2N}\\
\cdots \\
V_{N1}-\omega^2T_{N1} & V_{N2}-\omega^2T_{N2} & \cdots & V_{NN}-\omega^2T_{NN}
\end{vmatrix}=0
[/tex]
Practic o ecuație de ordin [tex]N[/tex] cu [tex]\omega^2[/tex] ca necunoscută.
- Se obțineau în final [tex]\omega_1, \omega_2, \cdots,\omega_N[/tex].

Este posibil să fi greșit pe la formule, au trecut vreo 20 de ani de atunci, dar cam asta era ideea. Oricum, a fost interesant să-mi amintesc.

[foton01]

Multumesc pentru indicatii

[HarapAlb]

Mi-am adus minte de o problema cu oscilatii de la Olimpida de Fizica clasa a XI-a, faza pe judet). Nu mai stiu enuntul exact insa era cam asa: se dau doua corpuri asezate ca in figura, corpul 1 este fixat de cerc, iar corpul 2 este liber sa se miste in lungul cercului. Cercul este imobil. Se cunosc masele si sarcinile corpurilor, si raza cercului. Sa se calculeze perioada micilor oscilatii ale corpului 2.

Incearca sa o dezbati la scoala

[HarapAlb]

 Legat de problema ta cu "oscilatii". Eu n-am inteles niciodata cat am fost la liceu ce inseamna "micile oscilatii", la pendul de exemplu. De unde stiu cat de mici trebuie sa fie ?... O sa revin cu un material in care explic de unde provine frecventa oscilatiilor si semnificatia ei.

Pe scurt, cand vine vorba de "micile oscilatii" sau "oscilatii infinitezimale" consideram implicit (cine a studiat mai multa fizica stie, dar un elev de liceu probabil nu are habar ...) o forta armonica cu dependenta liniara, i.e. [tex]F(x)=kx[/tex]. Cuvantul magic este liniara, dependenta poate sa fie in functie de unghi sau altceva, in general numim [tex]x[/tex] coordinata generalizata. Ce inseamna dependenta liniara ? Inseamna ca ecuatia de miscare [tex]m\ddot x + F(x) = 0[/tex] admite solutii periodice (oscilatii) a caror perioada nu depinde de amplitudine. Se poate demonstra usor ca [tex]x(t) = X_0e^{i\omega t}[/tex] este o solutie a ecuatiei de miscare unde [tex]\omega^2 = k/m[/tex], deci indiferent de [tex]X_0[/tex] !! In realitate insa perioada de oscilatie depinde de amplitudine, dar aici tratam un caz ideal.