Alt gandac pe alta banda elastica

[Electron]

Salutari,

Discutiile despre problema cealalta cu gandacul, adusa de HarapAlb, mi-au inspirat urmatoarea problema oarecum "inrudita":

O banda elastica omogena, de lungime initiala L, este prinsa cu un capat de un perete, iar de celalalt este trasa in asa fel incat viteza capatului liber (relativ la perete) V, sa fie constanta. Un gandacel se poate deplasa pe banda cu o fractiune 1/f (cu f>=1) din viteza V. La momentul initial gandacul este la capatul fixat de perete si porneste pe banda spre capatul liber cu viteza constanta V/f. (Banda e suficient de lunga si flexibila incat sa nu se rupa in cursul intinderii.)

1) Va ajunge vreodata gandacelul la capatul liber, daca f=2 ? (Argumentati calitativ).

2) In cazul in care raspunsul la 1) e negativ, determinati viteza V_g minima (respectiv factorul f_max) necesara pentru ca gandacelul sa poata ajunge la capatul liber.

3) Pentru un factor care asigura ca gandacelul ajunge la capatul liber, sa se determine timpul necesar pentru a ajunge acolo.

4) In conditiile de la 3) sa se determine lungimea benzii cand gandacelul a ajuns la celalalt capat.

5) Tot in conditiile de la 3), sa se determine distanta parcursa de gandacel pe banda elastica.

Argumentati si specificati aproximarile / simplificarile folosite in rationamente.

e-

[Mihnea Maftei]

Interesanta problema si asta.

Banda elastica in cazul asta nu are masa, nu? (inclin spre "nu" pentru ca nu apare in datele problemei)

[Electron]

Problema e astfel formulata si propusa incat sa fie absolut irelevant daca are masa sau nu.

e-

[Mihnea Maftei]

Asa e. Acum imi dau seama.

[Electron]

Am primit pe privat o intrebare legata de viteza gandacelului. Asemenea intrebari trebuie puse in acest topic, pentru ca sunt esentiale pentru problema.

Precizare: In problema e vorba de viteza gandacelului fata de banda elastica (local) si nu fata de perete.

e-

[laurentiu]

cat se poate alungi banda ?ca daca se poate alungi la infinit atunci [tex]f_{max}=1[/tex]

[Electron]

cat se poate alungi banda ?

Banda se poate lungi la infinit. Noroc ca e teoretica si nu practica,

ca daca se poate alungi la infinit atunci [tex]f_{max}=1[/tex]

Pentru ca ... ?

e-

[Mihnea Maftei]

Electron, uite cum am gandit eu la punctul 1):

La momentul t, viteza gandacului fata de perete este Vgandac=v/2 + v*(x/(L+vt)), unde x este distanta de la perete la gandacel in acel moment, iat v este viteza capatului benzii (pentru ca daca pictam un punct de pe banda elastica, el va avea viteza fata de perete v*("fractia din lungimea de atunci a benzii la care se afla punctul in acel moment") ).

Oricum, pentru punctul 1) e suficient sa constat ca are o viteza fata de perete mai mare decat v/2 pentru orice t>0  (deoarece, dat fiind ca gandacelul se deplaseaza pe banda, pentru orice t>0 avem x>0 si deci, din prima mea formula de mai sus, Vgandac > v/2    ---sper ca nu e prea confuza explicatia)
Insa mijlocul benzii se misca fata de perete cu v/2 mereu.
Deci gandacelul va ajunge in mijlocul benzii intr-un timp finit.

Cand ajunge in mijlocul benzii, el va avea viteza fata de perete v/2+v/2=v, iar el va trece de mijloc (care se deplaseaza fata de perete cu v/2), dupa care va avea o viteza fata de perete mai mare decat v. Asadar, va ajunge intr-un timp finit la capat (care se deplaseaza cu v fata de perete).

later edit: Rationamentul se poate aplica pentru orice f natural > 2 (si probabil orice f real > 2) (inlocuind mijlocul benzii cu fractii corespunzatoare din lungimea benzii si aplicand mai mult de 2 pasi).  -----> nu am verificat riguros, ma retrag acum de pe net, dar sper ca postarea mea e una cel putin constructiva pentru acest topic

[Electron]

[...] sper ca postarea mea e una cel putin constructiva pentru acest topic

Eu consider aceasta postare foarte constructiva pentru topic. Apreciez timpul petrecut pe aceasta tema.

Eu zic sa mai asteptam si alte rationamente/solutii, sa vedem daca laurentiu sau altcineva are alte argumente (pentru punctele 1 si 2).

e-

[Mihnea Maftei]

Ma bucur.

Crezi ca rationamentul meu este corect? (sigur ca, cu cat gasim mai multe metode corecte, cu atat mai bine)

later edit: Da, stiu ca o demonstratie matematica sau fizica trebuie sa se impuna clar prin sine ca fiind corecta.

even later edit:

Rationamentul se poate aplica pentru orice f natural > 2 (si probabil orice f real > 2)

De fapt, e clar ca daca gandacelul ajunge la capat pentru orice f natural > 2, atunci el va ajunge la capat pentru orice f real > 2 (daca ajunge pentru f=n, n natural, atunci sigur ajunge si pentru orice f real pozitiv < n, deoarece pentru f real pozitiv < n viteza gandacului este mai mare (pentru acelasi moment t) decat atunci cand f=n ).
---> Imi dadusem seama de asta mai devreme, dar acum m-am amintit sa postez.