problema cu parte intreaga

[mihai.plesa]

Exista un numar real x astfel incat {x}+{1/x}=1 ? Justificati raspunsul.

{a} partea fractionara a numarului real a;
Eu am scris {a} ca fiind a-[a], apoi am scris inegalitatea partii intregi...mi-a rezultat ca {a}>=1 (F)

1/x = "1 impartit la x"
Va multumesc!

[sicmar]

Există chiar o infinitate de astfel de numere. Ele sunt:

unde


De ce astea? Află!

NB. Ele sunt singurele soluţii reale ale ecuaţiei
.

[sicmar]

Presupunem că există soluţii reale ale ecuaţiei [tex]{\{x\}+\{\frac{1}{x}\}=1}[/tex]. (1)
Dacă există x satisfăcând ecuaţia (1) atunci pentru el există [tex]{\[x\]+\[\frac{1}{x}\]}[/tex] şi  [tex]{\[x\]+\[\frac{1}{x}\]} \in {\huge \mathbb{z}} [/tex].
Fie [tex]n \in {{\huge \mathbb{z}}}[/tex] pentru care [tex]{\[x\]+\[\frac{1}{x}\]=n-1}[/tex].  (2)
Atunci, deoarece [tex]{x=\[x\]+\{x\}[/tex], din (1) şi (2) deducem că x satisface ecuaţia [tex]{x+\frac{1}{x}=n}[/tex].  (3)

Orice soluţie a ecuaţiei (1) este şi soluţie a ecuaţiei (3) dar reciproca nu este valabilă, adică nu este obligatoriu ca vreo soluţie a ecuaţiei (3) să satisfacă ecuaţia (1).
Ecuaţia (3) are soluţiile: [tex]\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex] unde [tex]n \in {{\huge \mathbb{z}} -\{ -1, 0, 1\}}[/tex].
Pentru [tex]n \in \{-1, 0,1\}[/tex] nu există soluţii reale ale ecuaţiei (3).

Dacă rezolvarea ar rămâne doar atât atunci ar fi incompletă şi incorectă deoarece x a fost obţinut în condiţiile în care s-a presupus existenţa lui satisfăcând ecuaţia (1), ori această existenţă încă nu este dovedită. (Reamintim: "falsul implică orice".) Mai mult, aşa cum notam mai sus, nu orice soluţie a ecuaţiei (3) satisface obligatoriu şi ecuaţia (1). Tot ceea ce ştim deocamdată este că eventualele soluţii ale ecuaţiei (1) sunt în mulţimea [tex]\{\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}\| n \in {{\huge \mathbb{z}} -\{ -1, 0, 1\}\}[/tex]. De aceea se impune verificarea existenţei lui x satisfăcând ecuaţia (1) dar, conform celor stabilite, această verificare se va face doar pentru [tex]x \in \{\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2} \| n \in {{\huge \mathbb{z}} -\{ -1, 0, 1\}\}[/tex].

Surpriza apare pentru [tex]n=\pm 2[/tex], pentru care avem [tex]x=\pm 1[/tex] iar aceste valori ale lui x nu satisfac ecuaţia (1) deoarece pentru ele avem şi [tex]{\{x\}+\{\frac{1}{x}\}=0}[/tex].

Observăm că dacă [tex]x=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex] atunci [tex]\frac{1}{x}=\frac{n \mp \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex].

Pentru n>2 prin calcule elementare se obţin:
[tex]\[\frac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\]=n-1[/tex], [tex]\[\frac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\]=0[/tex],  [tex]\{\frac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\}=\frac{-n + \sqrt{n^2-4}}{2}+1\[/tex], [tex]\{\frac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\}=\frac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex].
Cu acestea, ţinând seama de observaţia de mai sus, se verifică imediat că dacă n>2 atunci [tex]x=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex] satisfac ecuaţiile (1-2), de la care s-a pornit.

Similar, pentru n<-2 se obţin după calcule elementare:
[tex]\[\frac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\]=-1[/tex], [tex]\[\frac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\]=n[/tex],  [tex]\{\frac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}\}=\frac{n + \sqrt{n^2-4}}{2}+1\[/tex], [tex]\{\frac{n - \sqrt{n^2-4}}{2}\}=\frac{-n - \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex].
Cu acestea, şi aceaşi observaţie ca mai sus, se constată că ecuaţiile de la care s-a pornit (1-2) sunt satisfăcute de către [tex]x=\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex] şi pentru n<-2.

În final, se conchide că [tex]\frac{n \pm \sqrt{n^2-4}}{2}[/tex] unde [tex]n \in {{\huge\mathbb{z}} -\{ -2, -1, 0, 1, 2\}}[/tex] sunt soluţii ale ecuaţiei (1) şi că acestea sunt singurele ei soluţii.

Am dat soluţia completă, lucru neobişnuit pe forum, pentru că prezintă interes modul în care o metodă similară metodei reducerii la absurd poate fi folosită, desigur cu o oarecare prudenţă.

[zec]

Sicmar solutia e una buna dar sincer foarte greu de urmarit.Ca un sfat cand rezolvi o ecuatie tu cauti sa afli daca are solutii in conditiile pe care le cere problema.Aici era vorba de solutii in multimea numerelor reale.
Daca incepi o problema cu o afirmatie de gen :"presupunem ca exista solutii reale" dai impresia ca vrei sa arati prin absurd ca nu ar avea solutii cautand vreo contradictie.
A doua chestie care nu suna bine e faza cu x solutie atunci pentru el exista  [ x]+[1/x].Sti bine ca expresia a doua e definita pentru mai multe valori.
Doar sa arat cum as fi facut eu in mare problema .
In primul rand discutiile,aici se punea cazul ca sa se precizeze x<>0 si ca un fapt se putea face o mica discutie despre compatibilitate si anume ca partea fractionara e o valoare in intervalul [0,1) ,discutia mai degraba sa remarce faptul ca daca ecuatia cerea egal cu 2 nu putea sa admite solutii si o eventuala generalizare de gen {x}+{1/x}=m unde m parametru real ar complica usor problema si probabil o solutie grafica evidentia mai bine dar din pacate nu determina precis solutiile.
Dupa ce remarci ca nu prea ai incompatibilitati,poti presupune ca ar putea exista solutii  ,solutii care in final le ai determinat rezolvand o alta ecuatie care contin eventuale solutii ale ecuatiei initiale si trebuiau verificate .

[sicmar]

Sicmar solutia e una buna dar sincer foarte greu de urmarit.Ca un sfat cand rezolvi o ecuatie tu cauti sa afli daca are solutii in conditiile pe care le cere problema.Aici era vorba de solutii in multimea numerelor reale.

O fi dificil de urmărit rezolvarea dar este elementară, la nivel de clasa a IX-a.
Simpla existenţă a soluţiilor ecuaţiei era mult mai simplu de demonstrat dar ... la nivel de clasa a XI-a, folosind continuitatea unor funcţii definite pe intervale de tipul [p, p+1) cu [tex]p \in{\huge%20\mathbb{z}}[/tex].
Am vrut să şi determin soluţiile, nu doar să arăt existenţa lor.
Şi, nici măcar asta nu era suficient pentru a scrie aici, dar metoda folosită este suficient de rar întâlnită încât să merite efortul de-a o pune aici.

Daca incepi o problema cu o afirmatie de gen :"presupunem ca exista solutii reale" dai impresia ca vrei sa arati prin absurd ca nu ar avea solutii cautand vreo contradictie.

Ultimul paragraf din rezolvare arată desluşit că este o metodă similară într-o oarecare măsură cu cea a reducerii la absurd. De altfel, într-o formă preliminară a redactării, similitudinile erau mai clar puse în evidenţă dar pentru a scurta redactarea am renunţat la astea.

A doua chestie care nu suna bine e faza cu x solutie atunci pentru el exista  [ x]+[1/x].Sti bine ca expresia a doua e definita pentru mai multe valori.

Corect, dar pe mine nu mă interesau toate valorile pentru care există [ x]+[1/x]. Mă interesa doar ca expresia [ x]+[1/x] să existe (să aibă sens) pentru presupusul x care satisface ecuaţia {x}+{1/x}=1.

Doar sa arat cum as fi facut eu in mare problema .
In primul rand discutiile,aici se punea cazul ca sa se precizeze x<>0 si ca un fapt se putea face o mica discutie despre compatibilitate si anume ca partea fractionara e o valoare in intervalul [0,1) ,discutia mai degraba sa remarce faptul ca daca ecuatia cerea egal cu 2 nu putea sa admite solutii si o eventuala generalizare de gen {x}+{1/x}=m unde m parametru real ar complica usor problema si probabil o solutie grafica evidentia mai bine dar din pacate nu determina precis solutiile.
Dupa ce remarci ca nu prea ai incompatibilitati,poti presupune ca ar putea exista solutii  ,solutii care in final le ai determinat rezolvand o alta ecuatie care contin eventuale solutii ale ecuatiei initiale si trebuiau verificate .

Desigur s-ar putea face o discuţie asupra existenţei şi numărului soluţiilor ecuaţie {x}+{1/x}=m, cu m în intervalul [0,2] dar nu prezintă decât interes marginal, în ceea ce mă privea.

Dacă vrei o discuţie asupra existenţei soluţiilor, fără detalii, o dau mai jos.
În cazul m=2 nu există soluţie. Pentru m=0 există doar soluţiile [tex]x=\pm 1[/tex].
Cazul soluţiilor cu x<0 se tratează, abstracţie făcând de calcule, similar cu cazul x>0 astfel încât considerăm în continuare doar x>0. Dacă x este o soluţie a ecuaţiei atunci 1/x este de asemenea soluţie a ecuaţiei, astfel încât tratăm doar cazul x>1 (cazul x=1 fiind deja elucidat).
Se poate arăta uşor că pentru orice m în intervalul (0,1] şi orice p întreg >1 există o exact o soluţie a ecuaţiei {x}+{1/x}=m care să fie în intervalul [p, p+1), rezultând astfel o infinitate de soluţii în acest caz. Ele se pot determina imediat din ecuaţia [tex]x-p+ \frac{1}{x}=m[/tex] şi condiţia [tex]x \in [p, p+1)[/tex]. Pentru p=1 şi m<1 nu există soluţii. etc.
Pentru 1<m<2 există cel mult un număr finit de soluţii ale ecuaţiei deoarece în orice interval [p,p+1) există cel mult o soluţie a ecuaţiei şi pentru orice m>1 există P= [1/(m-1)] a.î. să nu existe soluţii x>P.
Pentru o astfel de generalizare, cu detalii plictisitoare şi nimic interesant, nu se merită pierdut timpul.