O inegalitate mai dificila

[zec]

 
Sa se demonstreze ca are loc pentru orice n natural pozitiv are loc inegalitatea:



\[\sqrt {1 + \sqrt {2 + ..\sqrt n } }  < 2\]


Eu personal m-am chinuit ceva si nu am reusit sa ii gasesc o solutie .Problema a facut parte la barajul ptr select. lotului olimpic in 1989 si sursa o am dintr-o gazeta matematica din acel an.
Am un program care scrie semne matematice si le traduce in anumite limbaje dar vad ca nu imi iese,ii zice mathtype.In fine poate daca ma lumineaza careva e ok acolo e vorba de radicali compusi.

[zec]

[tex]\sqrt {1 + \sqrt {2 + ..\sqrt n } }[/tex]<2Asa arata inegalitatea

[HarapAlb]

Poti rescrie inegalitatea ca

[tex]2 - \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \dots + \sqrt{n}}}} > 0[/tex]

apoi amplifici succesiv ca sa obtii diferenta de patrate pentru a elimina radicalul. Avantajul este ca la numitor vei avea mereu o cantitate pozitiva, deci numai numaratorul contribuie la semnul fractiei:

[tex]\frac{4 - 1 - \sqrt{2 + \sqrt{3 + \dots + \sqrt{n}}}}{(\cdots)} > 0[/tex]

[tex]\frac{9 - 2 - \sqrt{3 + \sqrt{4 + \dots + \sqrt{n}}}}{(\cdots)} > 0[/tex]

[tex]\frac{49 - 3 - \sqrt{4 + \sqrt{5 + \dots + \sqrt{n}}}}{(\cdots)} > 0[/tex]

Pentru fiecare [tex]n[/tex] notam expresia de la numarator cu [tex]a_n[/tex] ce indeplineste relatia de recurenta [tex]a_n = a_{n-1}^2 - n[/tex] cu [tex]a_0 = 2[/tex]. Inegalitatea originala s-ar reduce la [tex]a_n > 0, \forall n[/tex] care s-ar putea ataca prin inductie.

[zec]

Foarte tare,chiar nu am vazut chestia asta.eu m-am tot stresat sa caut o relatie de recurenta in care An sa fie acel radical dar nu mi-a iesit.In fine o idee geniala.