Numere complexe

[noobakaflo]

Salut. M-am blocat la ex. asta..




Stiu ca modul de z este radical din a + b ,dar pur si simplu  nu imi iese..Ajung la o forma unde totul ''se complica'' prea mult..Cum as putea sa fac ? Multumesc anticipat

[mircea_p]

Salut. M-am blocat la ex. asta..




Stiu ca modul de z este radical din a + b ,dar pur si simplu  nu imi iese..Ajung la o forma unde totul ''se complica'' prea mult..Cum as putea sa fac ? Multumesc anticipat

Poti sa explici ce vrei sa faci?
Oricum, modul de z este radical din a^2+b^2, unde a si b sant parte areala si respectiv imaginara.

[Adi]

Chiar nu e clar ce vrei sa faci. In caz general modul de z nu are cum sa fie egal cu modul de z+1.

[noobakaflo]

Scuzati, m-am grabit.. [tex] |z|=sqrt{a^2+b^2} [/tex]

Exercitiul e din "Culegere de probleme de algebra pentru clasele IX-XII " de Gh. Shneider.

Am incercat sa inlocuiesc [tex] |z| [/tex] cu [tex] sqrt{a^2+b^2} [/tex] , [tex] |z+1| [/tex] cu [tex] sqrt{a^2+b^2}+1 [/tex] iar [tex] | {\bar z}^2 | [/tex] cu [tex] a^2 +b^2 [/tex] Am incercat sa le iau separat,sa inmultesc,nimic...Nu am nici o idee altfel..

[mircea_p]

Bine, dar ce spune exercitiul sau ce se cere?
Oricum |z+1| nu este ceea ce ai scris acolo ci radical din (a+1)^2+b^2. (presupun ca 1 este un numar real).

[noobakaflo]

Bine, dar ce spune exercitiul sau ce se cere?
Oricum |z+1| nu este ceea ce ai scris acolo ci radical din (a+1)^2+b^2. (presupun ca 1 este un numar real).

Sa se determine z apartine C astfel incat: .. ...

[Adi]

OK, se cere sa se determine z. Atunci iata pasul concret pentru tine. Cate ecuatii ai si cate necunoscute (si care sunt ele)?

[b12mihai]

Am incercat sa inlocuiesc [tex] |z| [/tex] cu [tex] sqrt{a^2+b^2} [/tex] , [tex] |z+1| [/tex] cu [tex] sqrt{a^2+b^2}+1 [/tex] iar [tex] | {\bar z}^2 | [/tex] cu [tex] a^2 +b^2 [/tex] Am incercat sa le iau separat,sa inmultesc,nimic...Nu am nici o idee altfel..

Este gresit!!! Fundamental gresit!!! Cand zici [tex]z=a+ib, \ a,b \in \mathbb{R}[/tex] intr-adevar ai [tex]|z|=sqrt{a^2+b^2}[/tex], dar tu in ecuatia ta ai ACELASI z, care este a+ib, deci [tex] |z+1| = sqrt{(a+1)^2 + b^2} [/tex] pt ca pur si simplu partea reala a lui z+1 e a+1 !!! De-aia nu iti iese exercitiul. Stii sa faci mai departe stiind ca conjugatul unui numar complex, [tex]\bar{z} = a-ib[/tex] ...si ca vorbim despre acelasi z care indeplineste simultan conditiile de acolo?

Si iti mai sugerez o relatie (se demonstreaza incredibil de usor prin calcul, lunad z=a+ib, a,b nr reale): [tex]z \cdot \bar{z} = |z|^2[/tex] ... poate fi utila, nu neaparat la acest exercitiu...

[noobakaflo]

Pai si [tex] |{\bar z}^2| [/tex] cat este ? Scuzati ca intreb asemenea,dar asta e.. sunt planta rau 

[Adi]

Pai si [tex] |{\bar z}^2| [/tex] cat este ? Scuzati ca intreb asemenea,dar asta e.. sunt planta rau 

Pai ia-o pas cu pas. Daca [tex]z=a+ib[/tex], atunci [tex]\bar{z}=a-ib[/tex], atunci [tex]\bar{z}^2[/tex]=a^2-b^2-2iab[/tex] si atunci [tex]|\bar{z}^2|=\sqrt{(a^2-b^2)^2+(2ab)^2}[/tex]. Trebuie doar sa iei pas cu pas, cum am luat eu. E suficient sa stii definitia modulului unui numar complex. Cat face (c+d)^2 stii deja din clasa a sasea.

[zec]

@gothic gresesti.Deci cand pui |z|=|z+1| va implica ca [tex]a^2=(a+1)^2[/tex] care va duce la 2a+1=0 cu solutie a=-1/2 si b poate sa fie orice valoare.Pentru determinarea lui b ar trebui folosita si cea de a treia egalitate si ca observatie folosete faptul ca [tex]|z| = |\overline z ^2|;|\overline z ^2| = |\overline z|^2 = |z|^2 \to |z| = |z|^2\to |z| = 1 [/tex]etc
Corectez intradevar am revizuit si gothic nu a gresit dar felul in care sa exprimat ma facut sa inteleg altceva.Cand ai zis fundamental gresit ma dus la faptul ca consideri o problema imposibila.

[Adi]

@gothic gresesti.Deci cand pui |z|=|z+1| va implica ca [tex]a^2=(a+1)^2[/tex] care va duce la 2a+1=0 cu solutie a=-1/2 si b poate sa fie orice valoare.Pentru determinarea lui b ar trebui folosita si cea de a treia egalitate si ca observatie folosete faptul ca [tex]|z| = |\overline z ^2|;|\overline z ^2| = |z^2| = |z|^2 \to |z| = |z|^2\to |z| = 1 [/tex]etc

Ghotic nu a gresit, dar nu s-a referit la ce te-ai referit tu. El s-a referit doar la definitia modului pentru z=(a+1)+ib. Si tu si el ati folosit aceeasi formula pentru asta, doar ca tu apoi ai mai si completat cu ecuatia din problema, pe cand el nu s-a referit la asta.

[tavy]

[tex]|z|=|z+1| \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(a+1)^2+b^2}[/tex] [1]
[tex]a^2+b^2\geq 0 \wedge (a+1)+b^2 \geq 0[/tex] [2]
Din [1] și [2] rezultă:
[tex]a^2+b^2=(a+1)^2+b^2 \Leftrightarrow a^2+b^2=a^2+2\cdot a+1+b^2 \Leftrightarrow 2\cdot a+1=0 \Leftrightarrow a=-\frac {1}{2}[/tex] [3]
[tex]|z|=|\bar z^2| \Leftrightarrow \sqrt {a^2+b^2}=a^2+b^2 \Leftrightarrow a^2+b^2=0 \vee a^2+b^2=1[/tex] [4]
Cum [tex]a \neq 0 \Rightarrow a^2+b^2\neq0 [/tex] deci rămâne: [tex]a^2+b^2=1 \Rightarrow b=\pm sqrt {1-a^2}=\pm \sqrt {\frac {3}{4}}=\pm \frac {\sqrt {3}}{2}[/tex]
Rezultă:
[tex]z=-\frac {1}{2} \pm \frac {\sqrt {3}}{2} \cdot i[/tex]

[noobakaflo]

Multumesc mult tuturor!! 

[Adi]

OK, tavvy a dat toata solutia, e bine, desi ar fi fost bine sa ne arate el intai ce a incercat. Trebuie sa inteleaga ca primul pas in rezolvarea problemei este identificarea celor doua ecuatii si a celor doua necunoscute. Ei bine, e trivial de simplu. Necunoscutele sunt doua (a si b), iar ecuatiile sunt tot doua (cele scrise de Tavi si numeratotate cu [1] si [2]). Dupa ce faci asta, problema practic s-a terminat. Nu mai e nimic de gandire, ci doar de rezolvat un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscte, ceva ce stii sa faci de cativa ani, fara probleme.