Numere algebrice si transcedente

[zec]

A trecut ceva timp si m-am gandit azi sa prezint o chestiune destul de interesanta legata de problema irationalitatii numarului [tex]\pi[/tex].Daca demostratii asupra irationalitatii numarului [tex]\pi[/tex] se gasesc dar sunt destul de complicate in modul clasic,totusi o demonstratie simpla a irationalitati revine de la o consecinta a unui rezultat celebru al Hermite-Lindemann.
Aceasta teorema afirma urmatoarele :Daca [tex]\alpha[/tex]<>0 este algebric atunci [tex]e^\alpha[/tex] este transcedent.
 Pentru a intelege textul trebuie sa stim ce inseamna algebric si transcedent.Un numar se numeste algebric daca este radacina a unui polinom cu coeficienti intregi iara un numar este transcedent daca nu e algebric.Numerele algebrice contin si numere irationale precum [tex]\sqrt 2 [/tex] dar si orice numar rational si asta concluzioneaza ca orice numar transcedent este obligatoriu irational .Deci cum aceasta teorema demonstreaza transcedenta numarului [tex]\pi[/tex]?Pai intr-un fel simplu ,ea revine de la celebra relatie a lui Euler [tex]e^{i\pi}=-1[/tex] si i numarul complex este un numar algebric .Daca prin absurb am presupune [tex]\pi[/tex] algebric atunci am obtine -1 ca este transcedent ceea ce e fals .Trebuie precizat totusi ca produsul a doua numere algebrice este un numar algebric un rezultat care nu e chiar usor de demonstrat dar se bazeaza pe constructie.

[mircea_p]

Foarte interesant. Multumesc pentru efort.

[A.Mot-old]

A trecut ceva timp si m-am gandit azi sa prezint o chestiune destul de interesanta legata de problema irationalitatii numarului [tex]\pi[/tex].Daca demostratii asupra irationalitatii numarului [tex]\pi[/tex] se gasesc dar sunt destul de complicate in modul clasic,totusi o demonstratie simpla a irationalitati revine de la o consecinta a unui rezultat celebru al Hermite-Lindemann.
Aceasta teorema afirma urmatoarele :Daca [tex]\alpha[/tex]<>0 este algebric atunci [tex]e^\alpha[/tex] este transcedent.
 Pentru a intelege textul trebuie sa stim ce inseamna algebric si transcedent.Un numar se numeste algebric daca este radacina a unui polinom cu coeficienti intregi iara un numar este transcedent daca nu e algebric.Numerele algebrice contin si numere irationale precum [tex]\sqrt 2 [/tex] dar si orice numar rational si asta concluzioneaza ca orice numar transcedent este obligatoriu irational .Deci cum aceasta teorema demonstreaza transcedenta numarului [tex]\pi[/tex]?Pai intr-un fel simplu ,ea revine de la celebra relatie a lui Euler [tex]e^i\pi=-1[/tex] si i numarul complex este un numar algebric .Daca prin absurb am presupune [tex]\pi[/tex] algebric atunci am obtine -1 ca este transcedent ceea ce e fals .Trebuie precizat totusi ca produsul a doua numere algebrice este un numar algebric un rezultat care nu e chiar usor de demonstrat dar se bazeaza pe constructie.

Interesant!Poate ai vrut sa scrii e^iπ=-1............