Demonstratie despre suma masurilor a doua unghiuri din triunghi

[Anysoara]

Demonstrati ca nu exista un triunghi, astfel incat toate sumele masurilor oricaror 2 unghiuri ale triunghiului sa fie
a) mai mari decat 120 grade.
b) mai mici decat 120 grade.

Cum as putea face asta?? Exista vreo teorema sau ceva?? Si daca da unde o pot gasi? Multumesc anticipat!

[Adi]

O teorema este tot o problema care a fost deja demonstrata.

Dar problema pare gresit formulata. Trebuie ca a) si b) sa fie adevarate in acelasi timp? Daca da, atunci inseamna ca suma unghiurilor face exact 120 de grade si asta e evident fals cel putin in unele cazuri.

[florin_try]

Prin toate sumele masurilor unghiurilor inteleg ca trebuie sa iei in consideratie toate perechile de cite 2 unghiuri posibile (deci combinari de 3 luate cite 2 = 3 perechi de unghiuri).

Una din perechi poate satisface relatia (1) sau (2), intrebarea e : celelalte perechi de unghiuri pot satisface relatiile >120 si <120.

Exemplu: consideram un triunghi cu unghiurile a, b, c ; a+b+c = 180 , a<b<c, si mai consideram ca a+c = 120. ; a<60; c>60 si b = 60.
Perechea a+c satisface a+b < 120 iar perechea a+c satisface a+c > 120
Deci ambele relatii sunt satisfacute simultan insa pentru perechi diferite de unghiuri.

Cred ca problema vrea sa spuna ca daca iei toate combinatiile de unghiuri posibile (3 de toate) vor exista combinatii de unghiuri ce nu mai satisfac (1) si (2) precum a+b si a+c aratate mai sus. 

[Anysoara]

a) si b) sunt aparte. cate o demonstratie pentru fiecare.

[florin_try]

OK. Pai daca am inteles bine problema, atunci de exemplu punctul (a) se poate reformula asa:
Sa se demonstreze ca intr-un triunghi exista o pereche de [2] unghiuri a caror suma este mai mica decit 120 grade.
Iar punctul (b) devine: Sa se demonstreze ca intr-un triunghi exista o pereche de [2] unghiuri a caror suma este mai mare decit 120 grade. 

Hai sa consider un triunghi oarecare cu unghuirile a, b, c, a+b+c=180, a≠b≠c.
Ce relatie ar trebui sa existe intre valoarea unghiurilor unui astfel de triunghi fata de suma unghiurilor impartita la numarul de unghiuri (180/3=60)?
Pot fi toate unghiurile mai mari de 60 de grade? Dar mai mici de 60 grade?

[Adi]

OK. Pai daca am inteles bine problema, atunci de exemplu punctul (a) se poate reformula asa:
Sa se demonstreze ca intr-un triunghi exista o pereche de [2] unghiuri a caror suma este mai mica decit 120 grade.
Iar punctul (b) devine: Sa se demonstreze ca intr-un triunghi exista o pereche de [2] unghiuri a caror suma este mai mare decit 120 grade. 

Acum chiar are sens! Mersi florin_!

[mercur]

Daca a, b, c, sunt unghiurile unui triunghi oarecare, presupunem ca suma oricaror 2 unghiuri este mai mare de 120. Atunci avem simultan relatiile:
(pentru simplificare nu mai scriu mas a, mas b, mas c)
a + b > 120 -> c = 180 - (a + b) -> c < 60
a + c > 120 -> b = 180 - (a + c) -> b < 60
c + b > 120 -> a = 180 – (c + b) -> a < 60
deci: a + b + c < 180,  fals.

Similar pentru punctul 2, doar ca presupunem ca suma oricaror 2 unghiuri este mai mica de 120.

[mercur]

Alta demonstratie:
Presupunem ca toate sumele masurilor oricaror 2 unghiuri ale triunghiului sunt mai mari decat 120 grade.
Atunci avem:
a + b > 120
a + c > 120
c + b > 120
adunam relatiile si obtinem: 2a + 2b + 2c > 360
simplificam si avem: a + b + c > 180, fals.

[Adi]

Wow, asta e chiar eleganta ca si demonstratie. Si cum toate trei nu pot avea impreuna suma mai mare de 120 de grade inseama ca cel putin o pereche are suma mai mica de 120 de grade.

[Anysoara]

Mersi mult pentru demonstratii!!! M-ati ajutat foarte mult!

[zec]

Totusi cu toate ca demonstratia e mai mult algebrica domeniul problemei ar fi geometria.Cauta sa nu amesteci algebra cu geometria chiar daca ele au multe situatii in care conlucreaza dar ca domeniu de studiu au fundamente diferite.Matematica ar avea 4 domenii de studiu mai mari care ar fi algebra,analiza matematica,geometria si informatica la care se mai adauga cateva domenii de matematici speciale cum ar fi statistica si teoria probabilitatilor .