Functii bijective si inverse. Ecuatii.

[Ionut007]

Buna ziua! Am primit ca tema cateva probleme pe care nu stiu sa le rezolv si sper sa ma puteti ajuta ...

1) Fie f:R->R data prin: f(x) = {3x-1, x<=2 si x+3 daca x>2}
a) Rezolvati ecuatia in R:  f(2-x) + f(2+x) = 8 Aici m-am gandit ca sunt 4 cazuri si ca trebuie sa le iau separat. Exista o metoda mai buna?
b) Aratati ca functia este bijectiva si determinati inversa. (Nu am idee cum ar trebui sa incep. Scriu f(x)=y pentru cele 2 cazuri si scot x in functie de y? )

2) Fie f:R->R, f(x) = { x^3 daca x apartie Q, x daca x apartine R\Q}
a) Aratati ca functia f este bijectiva si determinati inversa. (Banuiesc ca e ca la primul exercitiu ...)
b) Aratati ca exista un interval I inclus in R cu proprieteatea ca f(I) nu este interval. (Nu inteleg ce ar trebui sa arat).

[zec]

1 pct a
Problema in sine cere sa afli cam ce valori ia 2-x si 2+x cand x e real comparat cu valoarea 2.Cel mai usor se evidentiaza grafic pe acelasi sistem de axe.Practic ai 2 cazuri x<=0 si x>0 cand 2-x>=2 si 2+x<=2 respectiv 2-x<2 si 2+x>2.De aici devine simplu.
1 b)
surjectivitatea iese usor daca remarci ca imaginea functiei este R .Adica 3x-1 ia valori de la -inf la 5 si a doua de la 5 la +inf.
injectivitatea
remarca ca f este crescatoare si rezulta injectiva,e mai simplu asa.
Inversa alegi y din R pentru y>5 y=x+3 -> x=y-3
Ptr y<=5 y=3x-1 ->x=(y+1)/3    .Functia inversa se citeste imediat f(x)=x-3 x>5 si (x+1)/3 x<=5. La fel aici graficul ajuta mult.
2. aici numai merge metoda grafica
se rezolva cu definitia
injectivitatea ecuatia f(x)=f(y) are 2 cazuri daca sunt rationale atunci avem x^3=y^3 cu solutia x=y si la irationale rezulta x=y observand ca functia pe prima parte ia numai valori rationale si a doua numai irationale.
Surjectivitatea
alegi y din R daca e irational atunci f(x)=y are solutia x=y
Daca e rational atunci f(x)=y ar implica x^3=y de unde x radacina cubica a lui y ,dar radacina cubica nu este numar rational  decat in anumite cazuri astfel rezulta ca nu e surjectiva.De exemplu valoarea 2 nu poate fi luata de aceea functie.Deci din acest motiv cred ca era invers adica x^3 ptr R-Q si x ptr Q si in acest caz merge deoarece radacina cubica al unui numar irational este irational.
b) ia de exemplu intervalul radacina cubica a lui 7 si radacina cubica a lui 9 care in imagine ar trebui sa ia valori de la 7 la 9 dar si valoarea 2 in timp ce valoarea 3 nu poate fi atinsa, deci nu poate lua toate valorile din interval.