Geometrie Analitica - proiectie punct in 3D

[CeD]

Determinaţi proiecţia punctului M(2, -1, 1) pe dreapta
(d) de ecuaţii:

x - 2y + z - 2 = 0
2x - 6y + z - 1 = 0

[zec]

O sa incerc sa explic un pic avantajul spatiului vectorial si teoria vectorilor in geometria analitica din spatiu.Sa zicem ca proiectia lui M pe dreapta d este M' atunci asta inseamna ca
[tex]\overrightarrow {MM'}*\overrightarrow {AB}=0[/tex] ca produs vectorial,unde AB este un vector de pe dreapta d.
Pentru asta te ajuta ecuatia dreptei parametrizata.
Adica x=5-2t;y=(3-t)/2;z=t (asta e  solutia sistemului daca ai rezolva precum un sistem ecuatia dreptei).si de aici devine simplu lucrezi cu vectori de pozitie .
OM=2i-j+k   unde i,j si k sunt versori.
OM'=(5-2r)i+(3-r)/2j+rk unde r este de fapt necunoscuta ta de aflat.
MM'=OM'-OM deci este =(-3+2r)i+(-5+r)/2j+(1-r)k .
Pentru vectorul AB alegi si tu 2 valori pentru parametrul t care vrei tu(sugestie t=0 si t=3) si scrii vectorul in coordonate ca mai devreme.La final produsul scalar trebuie sa fie nul si afli pe r.
A doua metoda ar fi bazate pe teoria respectiva care in mare e ceea ce am spus eu doar ca asta e si ideea demonstratiei conditiei de perpendicularitate.
In mod normal aici regula zice ca sa nu dam mura in gura, de aceea ceea ce am prezentat aici nu e doar pentru tine si cred ca e mai mult decat suficient sa afli raspunsul.

[Stark]

Absolut de acord cu solutia lui Zec. Propun si eu o solutie. Intrucat este la nivel de facultate si problema presupune
cunostinte mai aprofundate de analiza vectoriala si geometrie analitica, voi incerca sa dezvolt solutia mai explicit.

Inainte de a aborda problema, prima observatie este aceea ca ecuatia unui plan poate fi scrisa in general ca
[tex]
a \,(x-x_0)+b\,(y-y_0)+ c\,(z-z_0)=0
[/tex]
unde [tex] (x_0,y_0, z_0)[/tex] este un punct continut in plan, iar coeficientii a, b si c sunt componentele carteziene ale unui vector perpendicular pe plan.

Urmaresc sa folosesc aceasta proprietate deoarece ecuatia dreptei a fost data ca doua equatii ce corespund unor plane care se intersecteaza, si prin urmare stiu deja componentele a doi vectori perpendiculari pe fiecate din cele
doua plane citind direct valorile coeficientilor termenilor liniari.

Acum, intentia mea este scriu equatia planului care contine punctul dat si este perpendicular pe dreapta data in problema. Notez cu [tex]\vec{n_A}\, \vec {n_B}[/tex], doi vectori perpendiculari pe fiecare din cele doua plane (adica, planele care definesc prin intersectia lor dreapta data), si cu [tex] \vec{r_0}=(x_0,y_0, z_0)[/tex] vectorul corespunzator punctului dat. Atunci, cu o introspectie minima de geometrie, ecuatia planului cautat este

[tex]
(\vec{r}-\vec{r_0})\cdot(\vec{n_A}\, \times \vec {n_B})=0
[/tex]

deoarece dreapta de intersectie este perpendiculara pe vectorii normali ai fiecarui plan.

Eventual, desi nu necesar, voi rescrie aceasta equatie folosind identitatea
[tex]
\begin{equation}
\vec{a}\cdot ( \vec{b}\times \vec{c}) = \left|
\begin{array}{ccc}
a_x & a_y & a_z\\
b_x & b_y & b_z\\
c_x & c_y & c_z\\
\end{array}
\right|
\end{equation}
[/tex]

unde prin bare verticale am notat determinantul matricii 3X3 corespunzatoare.

Prin urmare,  equatia planului care contine punctul dat si este perpendicular pe dreapta de intersectie a celor doua plane date in problema este:
[tex]
\begin{equation}
\left|
\begin{array}{ccc}
x- x_0 & y- y_0 & z- z_0\\
n_x^A & n_y^A & n_z^A\\
n_x^B & n_y^B & n_z^B\\
\end{array}
\right| =0
\end{equation}
[/tex]

In cazul problemei date [tex]\vec{n_A} =(1, -2,1)[/tex] si [tex]\vec{n_B} =(2, -6,1)[/tex], iar
[tex](x_0,y_0, z_0)=(2,-1,1)[/tex] este punctul dat.

Explicit, equatia planului ce contine punctul dat si este perpendicular pe dreapta data in problema este:

[tex]
\begin{equation}
\left|
\begin{array}{ccc}
x- 2 & y+1 & z- 1\\
1 & -2& 1\\
2 & -6 & 1\\
\end{array}
\right| =0
\end{equation}
[/tex]

Aceasta equatie liniara in (x,y,z) impreuna cu cele doua ecuatii (equatia dreptei) din problema
vor da un sistem liniar de 3 equatii cu trei necunoscute, iar solutia este punctul cautat.

[Pozitron]

Am schimbat numele topicului. Pe viitor discutiile despre probleme cu titluri care nu identifica clar continutul vor fi eliminate.

<Pozitron>