Autor Subiect: Re: Joculete ... (Citit de 38642 ori)

Adi · « **Răspuns #45 :** Ianuarie 26, 2009, 05:43:31 p.m. »

Nici eu nu am avut timp sa fac. Dar Coestite, poate iti faci tu timp sa verifici solutia lui Electron, e usoara, trebuie efectiv 24 de valori calculate.

darieglobur · « **Răspuns #46 :** Ianuarie 26, 2009, 07:19:31 p.m. »

Citat din: Adi din Ianuarie 14, 2009, 10:34:30 p.m.

Mersi mult pentru perseverenta. S-ar putea sa ai dreptate. Atunci poate ca eu in liceu am gasit situatii cand erau foarte asemanatoare. Daca riguros unghiurile astea nu le fac niciodata, atunci poate gasim momentele cand sunt aproape in situatia asta, adica sunt undeva intre 119 si 121 de grade. Atunci poate sunt mai multe solutii. Ar trebui sa rezolv si eu problema din nou in mod riguros.

Daca e vorba sa gasim momente cand sunt aproape in situatia asta, atunci problema devine mai degraba una de perspicacitate si s-ar reduce la a afla de cate ori "orarul" si "minutarul" fac intre ele un unghi de 120 de grade, considerand bine-nteles ca au o miscare continua. M-as hazarda sa spun ca raspunsul ar fi 44 de ori in 24 de ore. Asa este?

Adi · « **Răspuns #47 :** Ianuarie 26, 2009, 07:33:58 p.m. »

Nu stiu inca, dar rezolva, nu este greu. Iar apoi dintre aceste cazuri intrebi in care si secundarul face 120 de grade cu cele doua limbi.

darieglobur · « **Răspuns #48 :** Ianuarie 27, 2009, 12:06:51 a.m. »

Mi-am spart capul pana acum, desi zilele astea am la examene de nu ma vad

. Nu stiu daca am facut calculele corect. Pot spune ca am aflat doar principiul dupa care se calculeaza gradele si momentul cand orarul si minutarul fac intre ele 120 de grade, si apoi am facut mai mult intuitiv. De exemplu prima oara se intampla lucrul asta pentru m=130,909 grade, pentru minutar si 10,909 grade pentru orar, adica la ora: 12: 21 min; 49 sec.
In fine, am gasit ca din totalul de 44 de cazuri pentru care orarul si minutarul vor face intre ele un unghi de 120 de grade in 24 de ore, le pastram pe acelea pentru care putem "aranja" secundarul inainte sau inapoi cu maxim 10 secunde (in 10 secunde secundarul parcurge 60 de grade de pe cerc, care mai reprezinta si timpul in care minutarul parcurge 1 grad de pe cerc), adica sa nu iesim din plus sau minus un grad, astfel incat secundarul sa faca si el aproximativ 120 de grade cu orarul si minutarul. Si raman 4 astfel de cazuri pentru 12 ore. Deci pentru 24 de ore raspunsul meu este: de 8 ori.
Chiar sunt curios care-i raspunsul corect pentru ca eu unul am zis pas!

Adi · « **Răspuns #49 :** Ianuarie 27, 2009, 12:33:46 a.m. »

Ma bucura perseverenta ta. Cand o rezolv si eu, o sa revin aici cu ea.

laurentiu · « **Răspuns #50 :** Ianuarie 27, 2009, 05:57:02 p.m. »

raspunsul tau este pentru o miscare discontinua .Da ,e adevarat ,in 12 ore orarul si minutarul fac de 22 de ori 120 de grade ,insa doar pt o miime de miime de miime etc .,ele fac intre ele 120 de grade .daca peste o unitate de timp oricat de mica dupa ,secundarul este la 120 de grade de minutar si orar ,nu se pune .trebuie ca in acelasi timp ,exact in acelasi timp toate 3 sa faca intre ele 120 de grade ,astfel iesim din conditiile problemei .Oricum raspunsul este 0 ,chiar daca eu nu pot sa simplific propria rezolvare .Am vorbit si cu un prieten student la politehnica si mi-a zis acelasi lucru ca raspunsul corect este 0 ,ca a rezolvat si el in liceu problema asta ,dar nu prin numere complexe .Mi-a zis ca isi va face cont pe forum si va publica si rezolvarea lui

darieglobur · « **Răspuns #51 :** Ianuarie 27, 2009, 06:05:21 p.m. »

Vreau sa fac o rectificare. Luand fiecare caz in parte, pana la urma este vorba de 8 cazuri, din cele 22, pentru care cele trei limbi ale ceasului fac intre ele unghiuri foarte apropiate de 120 de grade (plus sau minus un grad) in 12 ore. Deci pentru 24 de ore raspunsul este 8 ori 2, adica 16.

darieglobur · « **Răspuns #52 :** Ianuarie 27, 2009, 06:12:31 p.m. »

Pai, da, Laurentiu. Asa este, raspunsul este 0. Insa eu m-am referit la ceea ce Adi a propus ulterior:

Citat din: Adi din Ianuarie 14, 2009, 10:34:30 p.m.

Mersi mult pentru perseverenta. S-ar putea sa ai dreptate. Atunci poate ca eu in liceu am gasit situatii cand erau foarte asemanatoare. Daca riguros unghiurile astea nu le fac niciodata, atunci poate gasim momentele cand sunt aproape in situatia asta, adica sunt undeva intre 119 si 121 de grade. Atunci poate sunt mai multe solutii. Ar trebui sa rezolv si eu problema din nou in mod riguros.

...si, daca n-am gresit la transformari

, am gasit 16 asemenea cazuri.

laurentiu · « **Răspuns #53 :** Ianuarie 27, 2009, 10:24:01 p.m. »

e o munca migaloasa sa gasesti astfel de unghiuri .crede-ma eu n-as fi avut rabdarea sa stau sa claculez de cate ori cele trei limbi se apropie de 120 grade.

Adi · « **Răspuns #54 :** Ianuarie 27, 2009, 11:17:05 p.m. »

Apreciez perseverenta voastra. Pai Laurentiu, nimeni nu zice ca concluzia ta e gresita. Electron se ia de demonstratie, eu inca nu ma pronunt. Dar daca nu se face niciodata strict strict 120 de grade intre ele, urmatoarea intrebare este cand este cel mai aproape de situatia asta? Si atunci doar munca migaloasa (calcul numeric) te duce la raspuns.

Coesite · « **Răspuns #55 :** Ianuarie 29, 2009, 06:04:59 p.m. »

Nu ma puneti pe mine sa calculez! Asta nu e un sfat ci e o avertizare =))

paul · « **Răspuns #56 :** Ianuarie 31, 2009, 12:10:36 a.m. »

Buna seara,am venit si eu "la sala", ca sa fac alaturi de voi un pic de gimnastica a mintii.Problema propusa de Adi este foarte interesanta pentru ca imbina perspicacitatea cu cunostinte aprofundate de mecanica (la nivel de liceu).De-abia ieri am gasit acest topic si de aceea l-am citit oarecum, "pe diagonala". Am retinut remarca lui Laurentiu ca multimea valorilor de timp care satisfac intocmai enuntul problemei este o multime vida si sunt intru-totul de acord cu el.Deasemenea, ideea lui de a trata problema "in complex" mi-a placut, chiar daca nu am avut timp pt. a verifica rigurozitatea matematica a demonstratiilor. Iar acum ,sa revenim la problema.
Eu am mers pe urmatorul rationament: Putem reduce complexitatea problemei (munca este pt. tractoare), daca observam ca, dupa un anumit interval de timp, t₁, acele ceasornicului se suprapun.(Sa consideram ca punctul zero al problemei este la ora 24:00:00) In 12 ore, acele se suprapun de 11 ori, la intervale egale de timp, deci in 24 ore se vor suprapune de 22 ori.Pentru linistea mea, am facut calculele, luand in considerare viteza unghiulara a fiecarui ac si punand conditia de superpozitie si am ajuns la acelasi rezultat pe care l-am intuit:t₁=12x3600/11 secunde. Dupa trecerea acestui interval de timp, problema "revine le zero" adica acele ceasornicului se vor suprapune din nou, ca la momentul initial al analizei.Daca in acest interval de timp conditia (riguroasa) din enunt nu va fi satisfacuta, ea nu va fi satisfacuta niciodata. Am pus conditia ca acul orar sa faca cu cel minutar un unghi de 2 pi/3, am exprimat vitezele unghulare ale acelor in rad./s si din rezolvarea ecuatiei am determinat T₁=4x3600/11 secunde. In acest moment,secundarul se va afla intr-o pozitie determinata de restul impartirii lui T₁ la 60 (eliminam rotatiile intregi ale secundarului) obtinand restul de 9/11 minute ce corespunde unui unghi al secundarului in raport cu ora 12 de 9/12x2pi (rad). Unghiul format in acest moment intre minutar si secundar va fi 10pi/11 (rad) . Aceasta valoare difera de 2pi/3, deci conditia din enunt nu este indeplinita. Dar mai avrm o situatie care va trebui verificata (un fel de capcana pt. tocilari), pozitia acelor poate fi alta, orarul intre 12 si 1, secundarul intre 4 si 5, minutarul intre 8 si 9. Aplicand aceeasi metoda, obtinem timpul minim necesar ca acul minutar sa se gaseasca intre orele 8 si 19, iar unghiul cu acul orar sa fie de 2pi/3. Notam acest timp cu T₂ si avem T₂=8x3600/11 secunde.Vom determina din nou restul impartirii lui T₂ la 60 pentru a gasi pozitia secundarului. Vom gasi T₂=43+7/11 (minute) .Unghiul corespunzator acestor 7/11 minute va fi 7/11x2pi (rad). Unghiul dintre minutar si secundar in acest al doilea caz va fi de 2pi/11 (rad) unghi care difera de 2pi/3. Acum putem spune cu certitudine ca niciodata conditia din enunt nu va fi satisfacuta.
Daca avem totusi un ceas electromecanic ale caror ace se deplaseaza doar cand a trecut ora, respectiv minutul si secunda ( un fel de functie parte intreaga), conditia din enunt va fi indeplinita (n-am verificat, afirm doar intuitiv), de 2x11x2=44 ori in 24 ore.
Daca ceasul are ace care se misca uniform (nesacadat), putem deasemenea sa spunem de cate ori, in 24 ore, cadranul este impartit in parti aproape egale. Am remarcat mai sus ca problema apare datorita "secundarului". Daca "fortam" secundarul sa faca un unghi de aprox. 2pi/3 cu acul orar, minutarul nu poate sa aiba abatere de mai mult de un minut, adica nu mai mult de 2pi/60 (rad.) Facand aceasta concesie, vom gasi in 24 ore, 44 momente in care conditia initiala este aproape satisfacuta.

IT · « **Răspuns #57 :** Ianuarie 31, 2009, 01:27:37 a.m. »

Confirm raspunsul lui Paul la problema exacta (120 de grade) pe care l-am verificat in Mathematica (vedeti fisierul 120grade.nb.txt atasat).

In legatura cu problema aproximativa, solutia e 44 cu conditia sa lasam secundarul liber ceea ce e echivalent cu faptul de a spune ca minutarul poate sa faca unghi de 117-123 cu orarul (pentru ca 6 grade ale minutarului reprezinta 60 de secunde).
In cazul aceasta, orele aproximative sunt in care se intampla fenomenul sunt:
~ 0h 21m 41.3099999999296s
~ 0h 43m 23.119999999856s
~ 1h 26m 46.7399999997096s
~ 1h 49m 28.9899999996346s
~ 2h 32m 52.3799999994862s
~ 2h 54m 34.0699999994158s
~ 3h 37m 57.6699999992662s
~ 3h 59m 39.4799999991958s
~ 4h 44m 3.55999999904346s
~ 5h 5m 45.2599999989723s
~ 5h 49m 8.64999999882444s
~ 6h 10m 50.4099999987524s
~ 6h 54m 14.0199999986054s
~ 7h 15m 55.8299999985324s
~ 8h 0m 19.8399999983837s
~ 8h 22m 1.52999999830928s
~ 9h 5m 24.9599999981656s
~ 9h 27m 6.75999999809026s
~ 10h 10m 30.3799999979475s
~ 10h 32m 12.1899999978712s
~ 11h 16m 36.1099999977246s
~ 11h 38m 17.7999999976491s
~ 12h 21m 41.3099999975047s
~ 12h 43m 23.1199999974311s
~ 13h 26m 46.7399999972847s
~ 13h 49m 28.9899999972097s
~ 14h 32m 52.3799999970613s
~ 14h 54m 34.0699999969908s
~ 15h 37m 57.6699999968413s
~ 15h 59m 39.4799999967708s
~ 16h 44m 3.55999999661852s
~ 17h 5m 45.2599999965474s
~ 17h 49m 8.6499999963995s
~ 18h 10m 50.4099999963275s
~ 18h 54m 14.0199999961805s
~ 19h 15m 55.8299999961075s
~ 20h 0m 19.8399999959587s
~ 20h 22m 1.52999999588434s
~ 21h 5m 24.9599999957406s
~ 21h 27m 6.75999999566532s
~ 22h 10m 30.3799999955225s
~ 22h 32m 12.1899999954463s
~ 23h 16m 36.1099999952997s
~ 23h 38m 17.7999999952242s
-----------------------------
Total aparitii: 44

In cazul in care strangem intervalul la 118-122 grade, sunt doar 32 de cazuri in care se intampla evenimentul cautat, si asta la orele:
~ 0h 21m 41.4799999999296s
~ 0h 43m 23.289999999856s
~ 2h 32m 52.5499999994862s
~ 2h 54m 34.2399999994157s
~ 3h 37m 57.8399999992662s
~ 3h 59m 39.6399999991957s
~ 5h 5m 45.4299999989723s
~ 5h 49m 8.81999999882443s
~ 6h 10m 50.5799999987524s
~ 6h 54m 14.1899999986054s
~ 8h 0m 19.9999999983837s
~ 8h 22m 1.69999999830928s
~ 9h 5m 25.1199999981656s
~ 9h 27m 6.92999999809025s
~ 11h 16m 36.2799999977246s
~ 11h 38m 17.9699999976492s
~ 12h 21m 41.4799999975046s
~ 12h 43m 23.2899999974311s
~ 14h 32m 52.5499999970612s
~ 14h 54m 34.2399999969908s
~ 15h 37m 57.8399999968413s
~ 15h 59m 39.6399999967708s
~ 17h 5m 45.4299999965474s
~ 17h 49m 8.81999999639949s
~ 18h 10m 50.5799999963274s
~ 18h 54m 14.1899999961805s
~ 20h 0m 20.0099999959588s
~ 20h 22m 1.69999999588434s
~ 21h 5m 25.1199999957406s
~ 21h 27m 6.92999999566531s
~ 23h 16m 36.2799999952997s
~ 23h 38m 17.9699999952242s

Mai departe, la un interval de 119-121 de grade, raspunsurile sunt:
~ 0h 21m 41.6499999999296s
~ 2h 32m 52.7199999994861s
~ 2h 54m 34.4099999994157s
~ 5h 49m 8.98999999882443s
~ 6h 10m 50.7399999987523s
~ 9h 5m 25.2899999981656s
~ 9h 27m 7.09999999809025s
~ 11h 38m 18.1399999976492s
~ 12h 21m 41.6499999975046s
~ 14h 32m 52.7199999970612s
~ 14h 54m 34.4099999969908s
~ 17h 49m 8.98999999639949s
~ 18h 10m 50.7399999963274s
~ 21h 5m 25.2899999957407s
~ 21h 27m 7.09999999566531s
~ 23h 38m 18.1399999952243s
---------------------------
Total aparitii: 16

Am facut calculele cu programul C# atasat. Tin sa spun ca e posibil ca rezultatele pentru +-2 grade si +-1 sa fie gresite, din cauza discretizarii problemei. Totusi e putin probabil sa fie asa avand in vedere ca am folosit un pas de 0.01 secunde.

paul · « **Răspuns #58 :** Februarie 02, 2009, 09:42:37 p.m. »

Citat

Confirm raspunsul lui Paul la problema exacta (120 de grade) pe care l-am verificat in Mathematica (vedeti fisierul 120grade.nb.txt atasat).

Multumesc sectorului IT pentru ca a confirmat "experimental" predictiile mele teoretice, atat in ceea ce priveste "problema exacta " cat si in ceea ce priveste problema "aproximativa ". Multumesc inca o data, domnule IT.

laurentiu · « **Răspuns #59 :** Aprilie 06, 2009, 08:03:37 p.m. »

Acum demonstratia(care difera putin de ce gandisem initial,dar foloseste tot numere complexe):
Consider ceasul un disc de raza 1 in planul complex.Consider ca intr-o unitate de timp orarul parcurge un arc de lungime a,atunci minutarul va parcurge un arc de lungime 12*a iar secundarul un arc de lungime 60*12*a.
Sa notam $z=cos a+isina$ .
$z_o(t)$ - pozitia orarului; $z_m(t)$ -pozitia minutarului; $z_s(t)$ -pozitia secundarului ,dupa timpul t.
Avem $z_o(t)=z^t;z_m(t)=z^{12t};z_s(t)=z^{720t};$
Fie $\eps=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3} (\eps^3=1)$ .La momentul t cele 3 limbi ale ceasului impart cadranul in unghiuri de 120 grade( $\frac{2\pi}{3}$ radieni) in 2 cazuri:
$1)z_m(t)=\eps z_o(t);z_s(t)=\eps z_m(t)<br />2)z_m(t)=(cos (\frac{-2\pi}{3})+isin(\frac{-2\pi}{3}))z_o(t);z_s(t)=(cos (\frac{-2\pi}{3})+isin(\frac{-2\pi}{3}))z_m(t);$
analizez doar primul caz ,celalalt fiind analog .
$z^{12t}=z^t\eps , z^{720t}=z^{12t}\eps$ ;ceea ce e echivalent cu <=> $z^{11t}=\eps;z^{59*12*t}=\eps;$
de aici continuand calculele=> $z^{12*59*t}=z^{11*59*t}z^{59}=\eps^59z^{59t}=eps^{59}z^{55t}z^{4t}=\eps^{59}\eps^5z^{4t}=\eps^{64}z^{4t}=\eps z^{4t}<br />. z^{12*59*t}=\eps=>\eps=\eps z^{4t}=>z^{4t}=1=>z^t\in\{1,-1,i,-i}=>z^{11t}\in\{1,-1;i;-i}\$ adica $z^{11t}$ nu poate fi egal cu $\eps$ ,deci niciodata cele 3 limbi ale ceasului nu vor imparti discul care reprez ceasul in 3 arce congruente(adica limbile sa faca in acelasi timp unghiuri de 120 de grade).

Autor Subiect: Re: Joculete ... (Citit de 38642 ori)

darieglobur

darieglobur

laurentiu

darieglobur

darieglobur

laurentiu

Coesite

paul

IT

paul

laurentiu