Re: Joculete ...

[Adi]

Da, asta era raspunsul. Cand mai venim cu intrebari din astea, o sa le punem aici.

Dar pana atunci, uite o intrebare cu un raspuns care necesita mai mult timp de gandire si poate ceva calcul, dar de cate ori in 25 de ore cele trei limbi ale ceasului fac fiecare cate 120 de grade intre ele (stiti, ca emblema de la Mercedes)?

[Electron]

de cate ori in 25 de ore cele trei limbi ale ceasului fac [...]

De ce 25 de ore? Si daca sunt 25, care (de la ce ora initiala la ce ora finala)?

e-

[Adi]

Bine observat, am vrut sa spun 24 de ore ... Si cele trei limbi sunt orarul, minutarul si secundarul ...

[laurentiu]

salut .am si eu o intrebare :de ex de la 12.00 pana la 12.59(adica si in fiecare ora),limba care arata ora ramane pe loc sau se misca? la fel in cazul minutarului.adica mai bine zis consideram miscarea continua sau miscare discontinua?
M-am gandit ca s-ar putea face cu ajutorul numerelor complexe ,dar nu sunt foarte sigur.Maine sper sa revin cu demonstratia completa .

[Adi]

Buna intrebare, Laurentiu. Consideram ca toate cele trei limbi se misca continuu. In practica, la un ceas, limbile se misca asa pe bucati, apoi stau, apoi iar se misca. Dar asta difera de la ceas la ceas. Nu, noi vrem sa rezolvam o problema de logica, frumoasa. Si atunci zicem ca toate limbile se misca uniform, cu viteza unghiulara constanta, de-a lungul intregii zile.

Mult succes!

[Coesite]

Numere complexe... mama! Eu propun sa le dsenenam si sa le numaram  Glumesc evident!

A si no google!!!! E ca si cum ai trisa!

[Adi]

Se poate face analitic, adica cu formule. Dar eu cand am facut problema asta in liceu, efectiv asa am luat si am desenat. Adica am facut tabel din minut in minut sau ceva in gen si vedeam cum evoluau unghiurile intre ele si cand se apropiau de 120 faceam din secunda in secunda si tot asa. Ce sa mai, calcul numeric, numai ca pe hartie, nu pe calculator, cum se poate face acum . Dar se poate si calcula riguros cu formule.

[laurentiu]

Numere complexe... mama! Eu propun sa le dsenenam si sa le numaram  Glumesc evident!

A si no google!!!! E ca si cum ai trisa!

eu la intrebari de logica sau de calcul nu folosesci niciodata google.vreau sa dau o solutie frumoasa
@Adi:deci putem considera ca in fiecare secunda minutarul se misca 6 grade(pi/30 radieni),iar limba ce arata ora se misca cu pi/1800 radieni(sper ca nu am gresit la calcul).mersi de raspuns.

[Adi]

Da, asa putem. Numai ca cred ca ai gresit la calcul. In fiecare secunda secundarul (nu minutarul) face 6 grade (pi/30 radieni) si minunatrul (nu limba ce arata ora) face pi/1800 radieni, iar limba care arata ora face pi/(1800*12) radieni.

De asemenea, recomand sa lucrati cu grade, nu cu radieni, caci oricum vizualizam grade (120 de grade intre ele) si asta desenem cu raportorul pe hartie. La problema asta radienii mai mult ne incurca.

[laurentiu]

Da, asa putem. Numai ca cred ca ai gresit la calcul. In fiecare secunda secundarul (nu minutarul) face 6 grade (pi/30 radieni) si minunatrul (nu limba ce arata ora) face pi/1800 radieni, iar limba care arata ora face pi/(1800*12) radieni.

De asemenea, recomand sa lucrati cu grade, nu cu radieni, caci oricum vizualizam grade (120 de grade intre ele) si asta desenem cu raportorul pe hartie. La problema asta radienii mai mult ne incurca.

da ai dreptate ,am gresit ,azi am lucrat ceva din ea,at mi-am dat seama ca am gresit .oricum nu ma pricep asa de mult cu gradele ,mai bine ma descurc cu radienii.am considerat un plan xOy ,in care centrul sa fie punctul din care pleaca cele trei limbi .In plus cele 3 limbi sa fie razele intr-un cerc de lungime 1 .Asa ca trebuie sa aflam de cate ori in 12 ore afixele pe cerc (cercul de centru O si raza 1) ale celor 3 limbi formeaza un triunghi echilateral .sper sa-mi iasa ,azi nu am avut timp la dispozitie sa lucrez la ea ,ma pregatesc pt judeteana la fizica (care cred ca e acum pe 17 ) si pt locala la mate

[Adi]

Exact, ai inceput excelent ... Spor mare!

[laurentiu]

am dat o demostratie folosind numerele complexe .nu am avut timp sa o scriu ,azi am intrat pe net 10 min ,unu din motive pt care am intrat a fost sa dau raspunsul la intrebarea lui Adi .
Raspunsul corect este 0(niciodata nu vor face unghi de 120 de grade)-revin maine cu demostratia .O seara placuta tuturor

[Adi]

Mersi mult pentru perseverenta. S-ar putea sa ai dreptate. Atunci poate ca eu in liceu am gasit situatii cand erau foarte asemanatoare. Daca riguros unghiurile astea nu le fac niciodata, atunci poate gasim momentele cand sunt aproape in situatia asta, adica sunt undeva intre 119 si 121 de grade. Atunci poate sunt mai multe solutii. Ar trebui sa rezolv si eu problema din nou in mod riguros.

[laurentiu]

Acum demonstratia(care difera putin de ce gandisem initial,dar foloseste tot numere complexe):
Consider ceasul un disc de raza 1 in planul complex.Consider ca intr-o unitate de timp orarul parcurge un arc de lungime a,atunci minutarul va parcurge un arc de lungime 12*a iar secundarul un arc de lungime 60*12*a.
Sa notam z=cos(a)+i*sin(a).
zo(t)- pozitia orarului;zm(t)-pozitia minutarului;zs(t)-pozitia secundarului ,dupa timpul t.
Avem zo(t)=z^t;zm(t)=z^12t;zs(t)=z^(60*12*t);
Fie epsilon=cos(2pi/3)+i*sin(2pi/3)(unde eps^3=1).La momentul t cele 3 limbi ale ceasului impart cadranul in unghiuri de 120 grade(2pi/3 radieni) in 2 cazuri:
1)zm(t)=eps*zo(t);zs(t)=eps*zm(t)
2)zm(t)=(cos(-2pi/3)+i*sin(-2pi/3))*zo(t);zs(t)=(cos(-2pi/3)+i*sin(-2pi/3))*zm(t);
analizez doar primul caz ,celalalt fiind analog .
z^(12t)=z^t*eps si z^(12*60*t)=z^(12t)*eps;ceea ce e echivalent cu <=>z^(11t)=eps;z^(59*12*t)=eps;
de aici continuand calculele=>z^(12*59*t)=z^(11*59*t)*z^59=eps^59*z^(59t)=eps^59*z^(55t)*z^(4t)=eps^59*eps^5*z^(4t)=eps^64*z^(4t)=eps*z^(4t)
cum z^(12*59*t)=eps=>eps=eps*z^(4t)=>z^(4t)=1=>z^t apartin {1,-1,i,-i}=>z^(11t) apartin {1,-1;i;-i} adica z^(11t) nu poate fi egal cu epsilon ,deci niciodata cele 3 limbi ale ceasului nu vor imparti discul care reprez ceasul in 3 arce congruente(adica limbile sa faca in acelasi timp unghiuri de 120 de grade).

[laurentiu]

Unitatea de timp a poate fi oricat de mica .pt a->0 ,miscarea este continua deci m-am incadrat in conditiile lui Adi ca miscarea sa fie continua .