Autor Subiect: Ecuația de gradul II (Citit de 20073 ori)

curiosul · « : Februarie 05, 2016, 05:39:15 p.m. »

Ecuația de gradul II este ecuația de forma $ax^{2}+bx+c=0$ așa cum știm toți.

Soluțiile ei sunt $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ și $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ .

La aceste soluții se poate ajunge și în felul următor.

Înmulțim ecuația $ax^{2}+bx+c=0$ cu 4a și se obține $4a^{2}x^{2}+4axb+4ac=0$ .

Adunăm și scădem $b^{2}$ și rearanjând termenii ecuația devine $4a^{2}x^{2}+4axb+b^{2}=b^{2}-4ac$ .

Primul termen poate fi scris ca un pătrat perfect și scriem ecuația sub forma $(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac$

Extragem rădăcina pătrată din ambii termeni, $2ax+b=\pm \sqrt{b^{2}-4ac}$ , de unde $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ .

Simplificând ecuația inițială cu a, obținem că $x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ , iar

$x_{1}+x_{2}= \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = -\frac{b}{a}$

Deci ecuația poate fi scrisă $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+\frac{c}{a}=0$ .

Dacă x ia valoarea $x_{1}$ atunci ecuația devine $x_{1}^{2}-(x_{1}+x_{2})x_{1}+\frac{c}{a}=0$ de unde rezultă că $\frac{c}{a}=x_{2}x_{1}$ .

Dacă x ia valoarea $x_{2}$ atunci ajungem la $x_{2}^{2}-(x_{1}+x_{2})x_{2}+\frac{c}{a}=0$ de unde rezultă că $\frac{c}{a}=x_{2}x_{1}$ .

Fie $P=x_{2}x_{1}$ și $S=x_{1}+x_{2}$ ,
atunci ecuația de gradul II poate fi scrisă sub forma $x^{2}-Sx+P=0$ .

Desigur, acestea sunt noțiuni pe care le știe toată lumea și se găsesc în manualele de matematică.
Ceea ce vreau eu să evidențiez în acest subiect este altceva.

Dacă facem diferența celor două soluții obținem

$x_{1}-x_{2}= \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$

Egalitatea respectivă poate fi scrisă $a\left (x_{1}-x_{2}\right ) = \sqrt{b^{2}-4ac}$ .

Ridicăm la pătrat ambii termeni și obținem $a^{2}\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2} = b^{2}-4ac$ și aducem această egalitate la forma ecuației de gradul II exprimată prin suma și produsul soluțiilor :

$a^{2}+\frac{4c}{\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2}}a - \frac{b^{2}}{\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2}}=0$

Însă în acest caz, a este coeficientul fixat al ecuației $ax^{2}+bx+c=0$ , iar ecuația anterioară nu poate avea două soluții $a_{1}, a_{2}$ , ci $a_{1}= a_{2}$ .

Asta ar însemna că $\frac{4c}{\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2}}=-2a$ , iar $-\frac{b^{2}}{\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2}}=a^{2}$ .

Însă rezultatul nu este tocmai corect pentru că ajungem la $\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2}=-\frac{2c}{a}=-\frac{b^2}{a^2}$
Cum explicăm asta ?
Am greșit pe undeva ?

atanasu · « **Răspuns #1 :** Februarie 05, 2016, 07:22:59 p.m. »

E misto! Dar de unde ai luat-o, ca personal nu te creditez cu o exprimare matematica la nivelul de aici ?

PS Ecutia anterioara nu poate avea decat doua solutii egale este o impunere fortata. Ecuatiile de tip polinom in x au cate solutii au in functie de gradul polinomului si de coeficientii acestuia.
Asadar cine spune ca ecuatia in a nu poate avea doua solutii diferite. Fa niste exemple numerice si vei vedea ca are si nu cum vrei tu adica duble. Deci nu poti impune ce nu se regaseste si in realitate.Probabil ca explicatia rezida in faptul ca x1 si x2 nu sunt independente de a,b,c dar recunosc ca nu am gasit asa repede o relatie care sa dovedeasca asta. Poate ca si ridicarea la patrat care poate da acelasi rezultat pentru doua numere diferite(pozitiv si negativ) sa-si bage coada pe aici.Posate ca este o problema de olimpiada. Daca pe aici exista profi de mate probabil ca o stiu.

curiosul · « **Răspuns #2 :** Februarie 05, 2016, 07:30:52 p.m. »

Citat din: atanasu din Februarie 05, 2016, 07:22:59 p.m.

E misto! Dar de unde ai luat-o, ca personal nu te creditez cu o exprimare matematica la nivelul de aici ?

Așa zice multă lume despre mine...Nu te cred !
Eu analizez multe atanasu, nu numai conjecturi și numere prime.
Dar asta n-are importanță.

Vis-a-vis de subiectul din acest topic, unde am greșit, pentru că rezultatul nu poate fi corect.
Și nu e o întrebare prin care vreau să-i verific pe ceilalți, ci chiar nu înțeleg unde-i greșeala.

atanasu · « **Răspuns #3 :** Februarie 05, 2016, 07:49:52 p.m. »

Nu am spus ca nu te cred in sensul problemei puse, adica ca nu ar putea sa se puna sau sa rezulte ce ai prezentat urmarind calculele de acolo, ci doar ca nu cred ca tu esti esti autorul problemei .Se vede daca incerci sa cauti cu "find" niste expresii ca sunt copiate de undeva ; Iaca-ta: 1}-x_{2}\right ) = \sqrt{b^{2}-4ac}
PS. Dar de fapt nici nu are importanta asta si eu trebuia mai intai sa te intreb daca tu ai compus problema caci tu totusi nu ai sustinut asa ceva in mod explicit desi acum din raspunsul tau se pare ca sustii asta.
PPS. Nu stiu unde este greseala caci nu este de calcul. Cred ca se incalca o regula de logica matematica s am incercat sa spun ce mi-a venit in minte. Repet este o chestie pentru profi de matematica si pentru matematicieni ori eu nu sunt nici una nici alta.

curiosul · « **Răspuns #4 :** Februarie 05, 2016, 08:27:14 p.m. »

Citat din: atanasu din Februarie 05, 2016, 07:22:59 p.m.

PS Ecutia anterioara nu poate avea decat doua solutii egale este o impunere fortata.

M-am gândit și eu la asta, dar dacă lucrăm cu un exemplu numeric, așa cum ai spus și tu, fie ecuația $3x^2-7x-13=0$ , unde $a=3$ .

Reproducând tot raționamentul de mai sus, trebuie să ajungem la o singură soluție $a=a_1=a_2=3$ .

Zic eu.
De aceea am menționat, $a$ este soluția fixă, determinată, a ecuației inițiale.
Dar poate că nu-i chiar așa, cine știe ?
Să mai vedem vreo părere.

atanasu · « **Răspuns #5 :** Februarie 05, 2016, 10:24:49 p.m. »

PS. Prin ridicarea la patrat a lui a care este o constant,a introduci doua valori posibile daca il tratezi apoi ca variabila. Cred ca asta este raspunsul .Apare o forma cu doua valori posibile si apoi impui cu de la tine putere ca ele sa fie identice ca si cum daca -3 si +3 la patrat dau noua altceva anume le-ar impune sa fie identice, nimic nu poate face ca -3 sa fie identic cu +3. Poate ca in algebra explicatia data de mine sa-si gaseasca o forma mai speciala, dar cred ca cam asta este si eu alt timp nu-mi pierd cu asta ca a trecut demult vremea cand participam(cu destul succes la olimpiade) Repet daca este pe aici vreun prof sau cu veleitati de prof(astia care ii ajuta pe elevi la problemele de pe aici) sa-si bata capul mai mult cu ea .Eu nu cred ca merita.

curiosul · « **Răspuns #6 :** Februarie 06, 2016, 09:45:48 a.m. »

Citat din: atanasu din Februarie 05, 2016, 10:24:49 p.m.

PS. Prin ridicarea la patrat a lui a care este o constant,a introduci doua valori posibile daca il tratezi apoi ca variabila. Cred ca asta este raspunsul .Apare o forma cu doua valori posibile si apoi impui cu de la tine putere ca ele sa fie identice ...

Sper să nu greșesc.
Prin ridicarea la pătrat a lui a nu se obțin două valori posibile, ci doar când extragi rădăcina pătrată, poți avea două posibile valori, cu plus/minus.

$(-a)^{2}=(+a)^{2}=a^{2}$ în timp ce $\sqrt{a^{2}}=\pm a$

N-am impus cu de la mine putere, ci așa am considerat că trebuie să fie, $a$ este coeficientul ecuației inițiale și are o valoare fixată. Nu neg faptul că ar putea fi greșit considerat așa, dar nu înțeleg clar de ce-i greșit să consider așa. Probabil că este greșit tocmai pentru că se ajunge la acel rezultat incorect.

Oricum, ecuația $a^{2}\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2} +4ac- b^{2}=0$ este totuși o ecuație de gradul II, cu soluțiile

$a_{1,2}=\frac{-4c\pm \sqrt{16c^{2}+4b^{2}\left ( x_{1}-x_{2}\right )^{2}}}{2\left ( x_{1}-x_{2}\right )^{2}}=\frac{-2c\pm \sqrt{4c^{2}+b^{2}\left ( x_{1}-x_{2}\right )^{2}}}{\left ( x_{1}-x_{2}\right )^{2}}$

Cum $4c^{2}+b^{2}\left ( x_{1}-x_{2}\right )^{2}> 0$ , dacă ecuația $ax^{2}+bx+c=0$ are două soluții $x_{1}\neq x_{2}$ și b, c diferit de 0, ceea ce înseamnă că $a_{1}\neq a_{2}$ .

Însă nu amândouă soluțiile $a_{1}, a_{2}$ pot fi soluțiile ecuației $ax^{2}+bx+c=0$
și s-ar putea într-adevăr ca să fie greșită condiția finală că $a$ este soluția fixată, motiv pentru care se ajunge la acel rezultat incorect,
iar ecuația $a^{2}\left (x_{1}-x_{2}\right )^{2} +4ac- b^{2}=0$ nu are numai o singură soluție $a_{1}= a_{2}=a$ .

curiosul · « **Răspuns #7 :** Februarie 06, 2016, 10:57:05 a.m. »

Citat din: atanasu din Februarie 05, 2016, 07:49:52 p.m.

... ci doar ca nu cred ca tu esti esti autorul problemei .Se vede daca incerci sa cauti cu "find" niste expresii ca sunt copiate de undeva

Păi când mai cauți cu "find" și găsești de unde am copiat, te rog să-mi dai și mie link-ul că nu mai țin minte de unde le-am copiat și să știu și eu de unde le-am copiat, că dacă mă mai întreabă cineva de unde le-am copiat să știu ce să-i răspund.

atanasu · « **Răspuns #8 :** Februarie 06, 2016, 11:04:56 a.m. »

Ehei, aici exprimarea este ok. Am impresia ca spunem acelasi lucru. De fapt eu am spus ca ridicand la patrat un numar necunoscut el are din start posibilitatea sa fie fie negativ, fie pozitiv si deci introduc astfel aceasta bivalenta de principiu pe care i-o retrag ulterior cu de la mine putere.
Personal am incheiat discutia la acest item.

PS.Incep sa cred ca totusi nu ai copiat vazand exprimarea corecta folosita in postarea anterioara. Eu cu "find" am gasit ca textul scris de tine are aceleasi caractere mai speciale, dar poate ai folosit respectivele caractere si deci nu e o dovada absoluta, dar diferenta totala de stil, de parca in mod deliberat vrei sa-ti scazi valoarea textului in problema Landau, m-a facut sa am aceasta banuiala.

curiosul · « **Răspuns #9 :** Februarie 06, 2016, 11:18:52 a.m. »

Citat din: atanasu din Februarie 06, 2016, 11:04:56 a.m.

... dar diferenta totala de stil, de parca in mod deliberat vrei sa-ti scazi valoarea textului in problema Landau, m-a facut sa am aceasta banuiala.

Păi vorbim totuși de probleme de o complexitate diferită, ce implică o exprimare diferită.

Aici am vorbit mai mult prin ecuații, deci matematic ne înțelegem mai ușor, în timp ce în Landau am folosit multe cuvinte, care cresc dificultatea de înțelegere, mai ales că în unele locuri în celălalt subiect n-am găsit cuvintele potrivite care să explice exact cum am gândit.

În mintea mea eu știu ce-am spus acolo prin cuvinte, dar degeaba dacă nu este ușor de înțeles și pentru cei ce citesc.
Dar repet, n-am găsit o exprimare mai potrivită.

atanasu · « **Răspuns #10 :** Februarie 06, 2016, 11:45:28 a.m. »

In ce am scris acum acolo poate vei intelege ce doresc, pentruca tu trebuie sa te ostenesti sa te faci inteles si nu eu sa ma chinui cu ippoteze de interpretare ale textului tau.Ca sa te ajut acolo am sa mai fac un efort suplimentar sa nu spun doar ca nu te inteleg ci sa te intreb daca un anume mod in care te inteleg este cel corect si daca da e ok si daca nu tu o sa propui un nou text poate mai inteligibil decat primul.
Cred ca aici nu mai are rost sa discutam, daca nu ai tu cine stie cum un element suplimentar la fondul problemei ridicate aici asa ca propun sa continuam cu problema Goldbach de la firul Landau unde chiar acum scriu ceva.

curiosul · « **Răspuns #11 :** Februarie 06, 2016, 11:56:04 a.m. »

A..Mot · « **Răspuns #12 :** Aprilie 04, 2017, 04:03:34 p.m. »

Citat din: curiosul din Februarie 06, 2016, 09:45:48 a.m.

$\sqrt{a^{2}}=\pm a$

Greșit!Corect este $\sqrt{a^2}=|a|$ .

Autor Subiect: Ecuația de gradul II (Citit de 20073 ori)

curiosul

Ecuația de gradul II

atanasu

Răspuns: Ecuația de gradul II

curiosul

Răspuns: Ecuația de gradul II

atanasu

Răspuns: Ecuația de gradul II

curiosul

Răspuns: Ecuația de gradul II

atanasu

Răspuns: Ecuația de gradul II

curiosul

Răspuns: Ecuația de gradul II

curiosul

Răspuns: Ecuația de gradul II

atanasu

Răspuns: Ecuația de gradul II

curiosul

Răspuns: Ecuația de gradul II

atanasu

Răspuns: Ecuația de gradul II

curiosul

Răspuns: Ecuația de gradul II

A..Mot

Răspuns: Răspuns: Ecuația de gradul II