Autor Subiect: ac-bd (Citit de 19421 ori)

abcd · « : Februarie 13, 2015, 05:10:45 p.m. »

Fie două numere naturale a și b, nenule prime între ele.
Să considerăm un interval (n,m) suficient de mare.
Am putea arăta că oricare ar fi a, b există o infinitate de numere naturale c, d, nenule și prime între ele, astfel încât diferența ac-bd să aparțină intervalului (n,m), cu ac și bd de asemenea prime între ele ?

Nu știu cât de clar și corect m-am exprimat și o să dau un exemplu din care poate se înțelege mai bine ce vreau să spun.

Să presupunem că în intervalul (n,m) sunt cuprinse numerele naturale între 1000 și 1500.
Alegem oricare două numere a și b prime între ele, să spunem 26 și 17.
Putem găsi o infinitate de numere naturale c și d prime între ele, astfel încât 1000<(26c-17d)<1500, sau 1000<(17d-26c)<1500, dacă 17d este mai mare ca 26c, astfel încât 26c și 17d să fie prime între ele ?

Sau putem găsi cel puțin două perechi de numere c,d și c',d', astfel încât (ac-bd) este diferit de (ac'-bd') dar ambele diferențe să aparțină intervalului (n,m) respectând condițiile de a fi prime între ele, oricare ar fi a, b și intervalul (n,m) suficient de mare ?

abcd · « **Răspuns #1 :** Februarie 14, 2015, 03:58:04 p.m. »

Are cineva vreo idee ?

zec · « **Răspuns #2 :** Martie 12, 2015, 09:34:39 a.m. »

Daca a si b sunt prime si ai ecuatia ax+by=c atunci aceasta ecuatie admite o infinitate de solutii de forma x=x₀+kb si y=y₀-ka unde x₀ y₀ e o solutie particulara.Aceasta solutie exista si se determina cu algoritmul lui euclid.
Ca observatie ecuatia de mai devreme admite o infinitate de solutii daca d|c unde d=(a,b).
De exemplu ptr numerele 26 si 17 cu ajutorul algoritmului lui euclid se afla k si l astfel ca
26k+17l=1.
Se imparte 26 la 17 si da 1 r 9
17:9=1 rest 8
9:8=1 rest 1
8:1=8 rest 0 astfel ultimul rest nenul fiind si cmmdc deci se scrie teorema impartiri cu rest astfel :
26=17x1+9 17=9x1+8 9=8x1+1 Practic se incepe de la sfarsit.
deci 1=9-8x1=9-(17-9x1)x1=-17+9x2=-17+(26-17)x2=26x2-17x3 si astfel se afla numerele aici fiind k=2 l=-3 si evident daca astea le amplific cu un numar c atunci 26x2c-17x3c=c care e o solutie particulara .Dupa aceea ai o infinitate de solutii dupa cum ti am aratat.

abcd · « **Răspuns #3 :** Martie 12, 2015, 02:45:55 p.m. »

Citat din: zec din Martie 12, 2015, 09:34:39 a.m.

Daca a si b sunt prime si ai ecuatia ax+by=c atunci aceasta ecuatie admite o infinitate de solutii de forma x=x₀+kb si y=y₀-ka unde x₀ y₀ e o solutie particulara.

Sigur zec, ai dreptate, dar eu tocmai pe acel c îl caut.
Tu ai demonstrat că dacă există c astfel încât ax'+by'=c, atunci există o infinitate de valori x", y", astfel încât ax"+by"=c, unde x"=x'+kb și y"=y'-ka.

Dar în enunțul inițial eu întrebam oarecum dacă există acel c, încadrat în intervalul respectiv, indiferent de a și b, naturale, prime între ele. Nu neapărat a și b numere prime, ci doar să nu aibă factori primi comuni.
Cu alte cuvinte, referitor la exemplele anterioare, întrebarea este dacă pentru o valoare c aparținând intervalului respectiv (n,m), există x' și y' astfel încât ax'+by'=c, oricare ar fi a și b naturale, nenule și prime între ele.
Tu ai arătat că dacă există x' și y' pentru care ax'+by'=c, atunci există și x" și y" pentru care ax"+by"=c.

Sau poate nu-mi dau eu seama și rezultă și acest aspect pe care-l caut eu din mesajul tău anterior, dar pe moment nu-mi sare în ochi această implicare.

zec · « **Răspuns #4 :** Martie 12, 2015, 09:34:18 p.m. »

Cand a si b sunt prime intre ele c poate fi oricare

abcd · « **Răspuns #5 :** Martie 13, 2015, 06:43:03 a.m. »

Cu siguranță nu este destul de clar ceea ce vreau eu să întreb și o să-ți explic ce anume m-a determinat să deschid acest subiect,
poate așa înțelegi mai bine. Este vorba despre conjectura lui Goldbach.
Presupunem că există un număr par 2n, suficient de mare, care nu poate fi scris ca sumă de două numere prime.
Nu luăm în calcul cazul trivial n=p prim.
Aceasta înseamnă că nu există un număr prim p din intervalul (1,n) astfel încât 2n-p=q, q număr prim din intervalul (n,2n).
De asemenea, asta înseamnă că numerele $\prod_{k=2}^{i}(2n-p_k)$ și $\prod_{q=i+1}^{j}p_q$ sunt prime între ele,
nu au factori comuni dacă 2n este un număr par care nu poate fi scris ca sumă de două numere prime,
unde $2=p_1< p_i< n< p_{i+1}< p_j< 2n<p_{j+1}$

Referitor la mesajul inițial din acest topic, eu vreau să vedem dacă poate exista x și y prime între ele astfel încât
$x\prod_{k=2}^{i}(2n-p_k)-y\prod_{q=i+1}^{j}p_q < (2n)^2$ , în care cei doi termeni ai diferenței (cele două produse) sunt de asemenea numere prime între ele.

Dacă există x și y care să îndeplinească condiția de mai sus, înseamnă că aceea diferență, trebuie să se dividă obligatoriu cu un număr prim mai mic decât $p_{j+1}$ .

Ca să fim siguri că acel număr prim care divide o astfel de diferență este încadrat în intervalul (n,2n) putem înmulți primul termen cu toate numerele prime din intervalul (1,n), $x\prod_{k'=1}^{i}p_{k'}\prod_{k=2}^{i}(2n-p_k)-y\prod_{q=i+1}^{j}p_q < (2n)^2$ , de unde rezultă că dacă există x și y prime între ele, cu x nedivizibil cu niciun număr prim din intervalul (n,2n), iar y nedivizibil cu niciun număr prim din intervalul (1,n), astfel încât să îndeplinească inegalitatea de mai sus, atunci 2n se scrie ca sumă de două numere prime, pentru că diferența, fiind mai mică ca $(2n)^2$ se divide obligatoriu și cu un număr prim mai mic ca 2n, iar acel număr prim care divide ambii termeni ai diferenței nu se poate regăsi decât într-unul din factorii produsului $\prod_{k=2}^{i}(2n-p_k)$ și de asemenea în produsul $\prod_{q=i+1}^{j}p_q$

Desigur, există și posibilitatea ca această diferență să fie exact un număr prim mai mic ca $(2n)^2$ și mai mare ca $p_{j}$ , dar putem elimina această incertitudine punând condiția ca diferența să aparțină intervalului (2n, 4n), spre exemplu, iar această diferență va trebui să fie egală cu unul din numerele pare $2p_{i+1}$ , $2p_{1+2}$ ,..., $2p_{j}$ . Dar ar fi suficient să demonstreze că acel număr par 2n este suma a două numere prime.
Sigur, ar trebui să scriu mai mult ca să arăt cum rezultă asta, dar mă rezum doar la a prezenta ceea ce m-a determinat deschiderea subiectului.

Dar deja ce am scris este și mai obositor, iar eu am vrut să generalizez această implicație prezentând doar ce este expus în primul mesaj, pentru a simplifica situația.
În principiu eu aș fi vrut să văd ce condiții particulare trebuie stabilite pentru ca inegalitatea să aibă loc și să văd după aceea cum o pot aplica.

Dar în fine...
Am scris asta doar ca să înțelegi de ce am postat primul mesaj și ce urmăream de fapt să stabilesc.
S-ar putea la fel de bine să nu fie corect nici raționamentul de mai sus referitor la conjectura lui Goldbach, deși l-am analizat destul de mult.

zec · « **Răspuns #6 :** Martie 13, 2015, 12:50:17 p.m. »

Mi am dat seama ca tu ceri si ax cu by sa fie prime intre ele.automat asta inseamna ca x si y sa fie prime intre ele.Dar si in aceste conditii am putea sa gasim o infinitate de solutii.Daca ax si by sunt prime atunci exista un p prim care divide by dar nu divide ax .
Ecuatia ax-by=c (am pus ecuatia cu diferenta cum ai gandit initial) daca o scriem in Zp grupul de resturi p devine precum $\widehat{ax} = \hat c$ relatie care determina unic x ca solutie si anume $\hat x=\widehat{a^{-1}c}$ adica x ia o infinitate de valori.
Sa zicem ca avem ecuatia 26x-17y=1000 trecand in Z17 aceasta ecuatie ea devine
$\hat 9x=\hat 14$ de unde x=11 (in clase de resturi) deci x=11+17k.Daca inlocuiesti in ecuatia initiala ecuatia se reduce si il afli pe y ca fiind 26k-42 e si aceste numere nu prea sunt prime intre ele mereu din cauza alegeri lui 1000.Deci depinde.Cam asta e ideea generala de rezolvare a acestor ecuatii.Se lucreaza in corpul Zp cu p prim.

abcd · « **Răspuns #7 :** Martie 13, 2015, 01:59:52 p.m. »

Da, cred că înțeleg ce vrei să spui, dar pentru moment nu știu cum să folosesc ceea ce ai prezentat.
Oricum, se pare că este o problemă de raționament și în expunerea anterioară a conjecturii lui Goldbach.
Pentru că chiar și în intervalul (2n,4n) diferența poate fi un număr prim din acel interval și nu demonstrează conjectura.

Mai degrabă, am putea restrânge limita, astfel încât să existe x și y pentru ca diferența să fie mai mică ca 2n și nu ca pătratul acestuia.
Dar în acest caz ajungem la condiția ca axu-byu=u, unde a și b sunt acele produse menționate anterior, iar u este un număr prim din intervalul (n,2n) ce ar trebui să fie conținut atât în produsul $\prod_{k=2}^{i}(2n-p_k)$ , cât și în produsul $\prod_{q=i+1}^{j}p_q$ .

Acum, dacă mai ai un pic de răbdare cu mine (și dispoziție), hai să analizăm situația în felul următor deocamdată.
Fie $2=p_1< p_i< n< p_{i+1}< p_j< 2n<p_{j+1}$ .
Există x și y astfel încât $n<x\prod_{k=2}^{i}(2n-p_k)-y\prod_{q=i+1}^{j}p_q<2n$ ?
Evident, așa cum cred ai înțeles ce urmăresc de fapt, x și y să fie numere prime între ele, tocmai pentru a stabili dacă primul produs și al doilea produs pot avea vreun factor prim comun.
Nu este suficient pentru ce vreau eu, dar vreau mai întâi să analizez modul în care gândești tu, să vedem dacă poate fi extins la conjectura lui Goldbach.

zec · « **Răspuns #8 :** Martie 19, 2015, 04:13:10 p.m. »

Acuma mam uitat si eu mai in detaliu ca prima oara mi am muscat limba cand am vz ce ai scris.Deci in mare sa zicem 99% am cam inteles ce ai scris tu pe acolo.Posibil sa mai revin si sa vad daca pot completa cu ceva la ce ai facut tu.

Autor Subiect: ac-bd (Citit de 19421 ori)

abcd

ac-bd

abcd

Răspuns: ac-bd

zec

Răspuns: ac-bd

abcd

Răspuns: ac-bd

zec

Răspuns: ac-bd

abcd

Răspuns: ac-bd

zec

Răspuns: ac-bd

abcd

Răspuns: ac-bd

zec

Răspuns: ac-bd