Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: problema Olimpiada  (Citit de 13188 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Flavius

  • Vizitator
problema Olimpiada
« : Iulie 24, 2013, 02:14:59 a.m. »
Sa se determine sistemele de n numere reale,n>=2 care au proprietatea ca oricare dintre ele este suma inverselor celorlalte.

Poate cineva sa-mi spuna cum pot incepe acesta problema/cateva indicatii/pasi de urmat?

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: problema Olimpiada
« Răspuns #1 : Iulie 24, 2013, 11:14:25 a.m. »
in primul rand scrie relatiile precum un sistem.
x_1=1/x_2+1/x_3+....+1/x_n
x_2=1/x_1+1/x_3+...+1/x_n
..................................................
x_n=1/x_1+1/x_2+......1/x_{n-1}
Aceste sisteme sunt grele incearca sa il rezolvi pentru caz particular n=3.

abcd

  • Vizitator
Răspuns: problema Olimpiada
« Răspuns #2 : Februarie 13, 2015, 06:31:36 p.m. »
Plecând de la ce a menționat zec în mesajul anterior, dacă faci suma tuturor relațiilor obții :

\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n-1}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}

Iar așa cum a exprimat anterior zec relațiile poți observa că trecând din dreapta în stânga termenul \frac{1}{x_k} ajungi să exprimi în stânga exact termenul x_k, k\leq n
Spre exemplu, x_n=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n-1}-\frac{1}{x_n}

Offline sicmar

  • Junior
  • **
  • Mesaje postate: 134
  • Popularitate: +2/-0
Re: problema Olimpiada
« Răspuns #3 : Aprilie 30, 2019, 07:10:55 p.m. »
Folosesc notațiile introduse ce către zec.

Cazul n=2 este banal, soluția imediată fiind x2=1/x1, cu x1 arbitrar /=0. În continuare considerăm cazul n>2.

Dacă n>2 și x1=x2= .. xn atunci imediat avem x1=(n-1)/x1. Acestă ecuație conduce la soluțiile sistemului:
x1=x2=...=xn=s*rad(n-1), cu s din mulțimea {-1,1}.

Voi arăta, prin două metode, că dacă n>2 atunci x1=x2= .. xn. Ambele metode, prin intermediul unor variabile auxiliare din mulțimea numerelor întregi, ajung la inecuații tip "clește" și care în mulțimea numerelor întregi conduc la ecuații simple.

Deocamdată, pentru comoditate, introducem variabila auxiliară t definită astfel:
(1) t=1/x1+1/x2....+1/xn.

Cu această notație avem
(2) xi+1/xi=t pentru i=1...n.

Metoda 1.

Din (2) deducem: xi+1/xi=xj+1/xj, pentru i,j=1...n
și imediat xi=x1 sau xi=1/x1 pentru i=2...n.

(Idea esențială în cadrul acestei metode) Introduc variabila auxiliară, număr întreg,  k definită ca numărul de indici i pentru care xi=x1.

Evident, 1<=k<=n. Numărul de indici i pentru care xi=1/x1 este n-k.
Cu acestea, din (1) avem t=k/x1+(n-k)x1.
și în continuare, din (2), avem ecuația în x1:
x1+1/x1=k/x1+(n-k)x1
adică (n-k-1)x12+k-1=0

Dacă k=1 atunci n=2, cazul banal.
Dacă k>=2, întrucât k-1>0, trebuie ca n-k-1<0, adică k>n-1. Avem deci "cleștele" n>=k>n-1. Întrucât k este întreg avem doar posibilitatea k=n, adică xi=x1 pentru toți i=1...n.


Metoda 2.

Din xi+1/xi=t avem xi2- t*xi +1=0.

(Idea esențială în în cadrul acestei metode) Introducem variabilele suplimentare si, cu valori din mulțimea {-1, 1} ("semnele"), în exprimarea soluțiilor acestor ecuații.
xi=(t+si*rad(t2-4))/2.
Evident, |t|>=2.

Avem imediat: 1/xi=(t-si*rad(t2-4))/2
Introducând aceste valori în(1) avem:
(3) t = 1/x1+1/x2+...+2/xn=(nt-(s1+s2+...sn)*rad(t2-4))/2

Pentru |t|=2 avem t2-4=0 și de aici t=nt/2 deci n=2, fiind astfel în cazul banal.

În continuare considerăm |t|>2

Din (3) deducem:

s1+s2+...+sn=(n-2)t/rad(t2-4)

Pentru n>2 și |t|>2 avem (n-2)|t|>(n-2)*rad(t2-4) deci
|s1+s2+...+sn|>n-2.

În general avem |s1+s2+...+sn|<=|s1|+|s2|+...|sn|, cu egalitate doar dacă toate si au același semn. Ținând seama de faptul că, aici, si=1 sau si=-1 avem
|s1+s2+...+sn|<=n, cu egalitate doar dacă s1=s2=...=sn.

Am obținut "cleștele" n>=|s1+s2+...+sn|>n-2.

Folosind faptul că si=1 sau si=-1 se vede ușor că |s1+s2+...+sn| este un număr natural și are aceeași paritate cu n deci nu poate fi egal cu n-1.

Avem deci |s1+s2+...+sn| =n și s1= s2=...  =sn.

Acum, revenind la ecuațiile prin care s-au introdus variabilele si, constatăm că x1=x2=...=xn.

Note
1. Întrucât site-ul nu suportă LaTeX, am folosit notația rad(x) pentru radicalul de ordinul 2 din x.
2. Metoda 2, mult mai laborioasă decât cealaltă, am scris-o doar pentru că ideea exploatării sumei s1+s2+...+sn, ca mai sus, am mai folosit-o și în rezolvarea altor probleme și ea poate fi utilă.
« Ultima Modificare: Decembrie 08, 2019, 06:17:53 a.m. de sicmar »