Welcome, Guest. Please login or register.

Autor Subiect: Matrice si determinanti  (Citit de 5445 ori)

0 Membri şi 1 Vizitator vizualizează acest subiect.

Offline foton01

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 588
  • Popularitate: +1/-7
Matrice si determinanti
« : Decembrie 22, 2012, 05:32:58 p.m. »
Salut!
Zilele acestea am dat peste mai multe probleme cu determinanti. Toate aveau ceva legat de det(A^{2}+AB+B^{2}) sau det(A^{2}-AB+B^{2}). Este vreo metoda speciala cu care se rezolva tipul acesta de probleme? Au vreo scriere aparte acesti determinanti? Am sa va scriu cele doua problme pentru a exemplifica mai bine.
1.Fie A,B \in M_3(R) singulare cu proprietatile AB=BA, det(A-B)=1  det(A+B)=3. Calculati det(A^{2}-AB+B^{2}
2.Fie A,B doua matrice patratice de ordin trei cu elemente intregi cu proprietatea ca:
AB=BA si det(A^{2}-AB+B^{2})-det(A^{2}+AB+B^{2})+2=6det(AB).
Sa se arate ca det(A-B)=0.

Imi puteti da niste idei la aceste probleme va rog ? :)

Mai am si o a 3-a problema care nu are legatura cu cele doua dar nu prea am idei nici aici :)
3.Demonstrati ca daca A,B sunt matrici patrate ce comuta si care au elemente numere naturale, atunci det(A^{2}+B^{2}) NU poate lua valoarea 2012.

Imi cer scuze ca sunt atatea probleme dar inca nu am invatat pe deplin cum sa lucrez cu determinanti :)

Multumesc ! :D

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: Matrice si determinanti
« Răspuns #1 : Decembrie 23, 2012, 09:30:45 a.m. »
 Sunt grele si nu au o particularitate anume.Doar ca la rezolvare trebuie luat in considerare toate datele care le prezinta problemele.De exemplu la 1 matrici singulare inseamna ca au determinaint nul.La problema 2 au elemente numere intregi deci asta inseamna ca valorile determinantilor sunt numai numere intregi.Faptul ca sunt de ordin 3 si la 1 si la 2 e posibil sa iei in considerare matrice .
 Unde ai gasit problemele?

Offline foton01

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 588
  • Popularitate: +1/-7
Răspuns: Matrice si determinanti
« Răspuns #2 : Decembrie 23, 2012, 03:02:23 p.m. »
Unde ai gasit problemele?
sunt dintr-o culegere mai veche pentru olimpiada :)

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: Matrice si determinanti
« Răspuns #3 : Decembrie 26, 2012, 05:43:27 p.m. »
Am o demonstratie pentru problema 1.Probabil ca dupa ce vei vedea rezolvarea iti vei da seama de dificultatea ei.Apropo asa ca fapt mi-a luat ceva timp de gandire.
Fie P(x)=|A+xB| si avem conform ipotezei gradP\le 3;P(0)=0;P(1)=3;P(-1)=1 pe de alta parte coeficientul lui x^3 este detB=0 care se remarca usor in modul cum se calculeaza un determinant in general.
detA=detB=0 deoarece zice in ipoteza matrici singulare.
Astfel P(x) e un polinom de grad 2 scriind P(x)=ax^2+bx+c afli imediat din conditiile date ca P(x)=2x^2+x.
Calculam acuma |A^2+B^2|=|A+iB||A-iB|=P(i)P(-i)=(-2+i)(-2-i)=5(aici folosim faptul ca A si B comuta)
Fie G(x)=|A^2+xAB+B^2|
Asemanator cu ideea de la P(x) gradul lui G este maxim 2 intrucat coeficientul lui x3
este detAB=detAdetB=0
Avem G(0)=5; G(-2)=det(A-B)2=(det(A-B))2=1 si analog G(2)=9
Fie G(x)=ax2+bx+c obtinem c=5 imediat
si 4a-2b+5=1;4a+2b+5=9 de unde a=0 si b=2 astfel G(x)=2x+5 iara determinantul cautat este G(-1)=3 .Raspuns 3

Offline zec

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 504
  • Popularitate: +49/-15
Răspuns: Matrice si determinanti
« Răspuns #4 : Decembrie 27, 2012, 11:43:53 a.m. »
Problema 3.
Ideea demonstratiei se bazeaza pe urmatorul fapt:
Se stie ca det{A^2+B^2}\ge 0 daca A si B comuta demonstratia se bazeaza pe urmatorul fapt.  det{\overline A}=\overline {|A|} unde A\in M_n(C).
Nu dau demonstratia dar ca fapt nu e grea se bazeaza pe definitia generala a determinantului si proprietati ale conjugatei unui numar complex.
Astfel det{A^2+B^2}=det{A+iB}det{A-iB}=det{A+iB}\overline{|A+iB|}=det{|A+iB|} unde la final intelegem modul de numar complex din determinant.
Deci det{A^2+B^2}=x^2+y^2 unde x,y sunt partea reala respectiv partea imaginara a lui det(A+iB) evident ca x si y sunt numere intregi.
 Acuma nu ramane de aratat decat ca ecuatia x^2+y^2=2012 nu are solutii intregi.
Genul de ecuatie se bazeaza pe ideea de resturi patratice. x^2 poate fi de forma 4k sau 4k+1.Dar 2012 e de forma 4k asta inseamna ca nu putem avea decat 4k+4k=2012 deci x par si y par scriem x=2u y=2v si ecuatia devine u^2+v^2=503 dar 503 e de forma 4k+3 si nu poate fi suma de 2 numere de forma 4k sau 4k+1 deci ecuatia data nu are solutii.

Offline foton01

  • Experimentat
  • ***
  • Mesaje postate: 588
  • Popularitate: +1/-7
Răspuns: Matrice si determinanti
« Răspuns #5 : Decembrie 27, 2012, 01:42:13 p.m. »
Multumesc mult pentru ajutor :)