Trebuie sa recunosc ca exemplu dat de mine este jenant de grosier din punct de vedere matematic, dar foarte accesibil pentru orice, fiind o metoda mai "babeasca"...
atunci sa trecem la lucruri mai "profunde" din matematica:
Fie
o multime de numere reale. Multimea
este
minorata (marginita inferior) daca exista un numar real
astfel incat
;
este un
minorant al multimii
. Analog, multimea
este
majorata (marginita superior) daca exista un numar real
astfel incat
;
este un
majorant al multimii
. O multime
se numeste
marginta daca este simultan minorata si majorata. In mod evident, orice multime finita este o multime marginita.
Daca o multime este
marginita, atunci putem determina un interval de forma
})
,
, astfel incat
})
. Putem spune deci
ca multimea este marginita daca exista numarul 
astfel incat 
, .
Cel mai mare minorant al multimii
se numeste
margine inferioara a multimiii, pe cand cel mai mic majorant al multimii
se numeste
margine superioara a multimii
. Daca
si
sunt marginea inferioara, respectiv
margine superioara a multimii
, le notam:
)
)
Conform axiomei lui Cantor, daca
este minorata, atunci exista
, iar daca
este majorata, atunci exista
(
"Orice submultime de numere reale nevida si marginita superior admite un cel mai mic majorant"). Marginile unei multimi pot apartine sau nu acelei multimi multimi. De exemplu, pentru
})
,
, dar
.
Daca o multime
nu este majorata, atunci oricare ar fi numarul real
, exista numere
astfel incat
; notam acesta prin
. Analog, daca o multime
nu este minorata, atunci oricare ar fi numarul real
, exista numere
astfel incat
; notam acesta prin
.
Avem:
;
,
;
Simbolurile
si
atasate multimii
ne dau dreapta incheiata
; adica
. Introducerea dreptei incheiate
face posibila introducerea lui
si
pentru orice multime din
!
Prin sir de numere reale se intelege o functie avand drept domeniu multimea
, iar drept codomeniu multimea
. Este vorba despre o functie de forma
, cu
si
, care pune in corespondenta fiecarui numar
un numar real
. Numarul
care insoteste termenul general
este
rangul acestuia.
Un sir este
marginit daca exista un interval marginit al axei reale care contine toti termenii sirului. In alte cuvinte, daca se considera sirul
})
, atunci el este marginit daca exista numarul real
, astfel incat
Orice sir convergent este marginit; daca un sir nu este marginit nu este convergent (este
divergent).
Fie sirul
nemarginit; sirul acesta tinde catre
daca oricare ar fi numarul
, exista un rang
})
astfel incat
, daca
})
. Notam
Sirul
tinde catre
daca oricare ar fi numarul
, exista un rang
astfel incat
, daca
. Notam
Acum, sa vedem operatiiile cu siruri care au limita infinita:
1) Daca
si
, atunci
=\infty})
.
Simbolic acesta afirmatie revine la regula
2) Daca
si
, atunci
=-\infty})
adica
=-\infty-\infty=-\infty})
3) Daca
si
, atunci suma sirurilor la limita
, si nu putem spune nimic despre limita sirului suma, deoarece orice rezultat fiind posibil, adica o nedeterminare. Simbolic:
4) Daca
si
, atunci
=\infty})
Simbolic, acesta revine la
.
5) Cat priveste operatia
(
) este usor de verificat ca, daca
, atunci
De aici si regula
=-\infty})
6) Daca
, atunci obtinem
sau
, operatii care nu au sens pentru ca se pot obtine orice rezultat si-n acest sens sirul nu are limita (este divergent). Simbolic:
Sa ma intorc la exempul meu cu seria respectiva...
Fie
^n\rightarrow 0})
si
atunci
^n})
nu are limita (nedeterminarea
).
^n})
nu are limita deasemenea.
Deci, "simbolic" avem
^n \right )\quad=\quad \infty\cdot 0})
adica poate avea orice valoare (diverge catre orice numar din
).
Chiar si dupa atata cat am scris tot nu-s multumit de explicatia mea...
nici nu ma mir prea mult... zero si infinit sunt niste concepte care si-n ziua de zi nu au fost inteles pe deplin... si pot da durere de cap... as putea sa mai continui, dar intru in filozofie
